Question

若一个数集满足：无论 $x$ 和 $y$ 是否相同，只要它们都是该集合的元素， $x + y$ 就不是该集合的元素，则称这个数集为无和集。例如， $\{1, 4, 6\}$ 和空集是无和集，但 $\{2, 4, 5\}$ 不是。从 $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ 中取出的无和子集最多可以有多少个元素？

A set of numbers is called sum-free if whenever $x$ and $y$ are (not necessarily distinct) elements of the set, $x + y$ is not an element of the set. For example, $\{1, 4, 6\}$ and the empty set are sum-free, but $\{2, 4, 5\}$ is not. What is the greatest possible number of elements in a sum-free subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

答案：C

知识点：子集极端原理配对与分组

难度评级：2120

解答：

可以达到 $10$ 所有奇数组成的集合 $\{1, 3, 5, \ldots, 19\}$ 是无和集，因为两个奇数之和为偶数。 $\{11, 12, \ldots, 20\}$ 也是无和集，因为其中任意两个数相加都超过 $20$ 这两个集合各有 $10$ 个元素。现在说明不可能超过 $10$ 设 $m$ 是某个无和子集的最大元素。把 $1\le i<m/2$ 配对为 $\{i,m-i\}$ 同一对不能两个都选，否则它们的和 $m$ 也在集合中。这样的配对有 $m$ 对，所以该子集最多有 $m/2$ $m/2+m/2=m$ 个元素。因此正确答案是 C。 $m$ $\lfloor(m-1)/2\rfloor$ $\lfloor(m-1)/2\rfloor+1\le10$ 。

We can reach $10.$ The odds $\{1, 3, 5, \ldots, 19\}$ are sum-free, since two odds sum to an even. So is $\{11, 12, \ldots, 20\},$ since any two of those sum past $20.$ Each has $10$ elements. Now let $m$ be the largest element of any sum-free subset. For $1\le i<m/2,$ at most one member of $\{i,m-i\}$ can be chosen, because the two sum to $m.$ If $m$ is even, $m/2$ cannot be chosen either, since it can be used twice and $m/2+m/2=m.$ Thus besides $m$ there are at most $\lfloor(m-1)/2\rfloor$ chosen elements, for a total of at most $\lfloor(m-1)/2\rfloor+1\le10.$ Therefore the greatest possible size is $10.$ Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10A 第 21 题

答案：C

难度评级：2120

解答：

其他年份的第 21 题