2022 AMC 10B 第 9 题

Question

和式

\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}

可写成

a-\dfrac{1}{b!}

，其中

a

和

b

为正整数。求

a+b

。

The sum

\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}

can be expressed as

a-\dfrac{1}{b!},

where

a

and

b

are positive integers. What is

a+b?

\ 2020

\ 2021

\ 2022

\ 2023

\ 2024

把每一项写成两个相邻阶乘倒数的差。

Look for a difference involving consecutive factorial reciprocals

把每一项改写成会裂项相消的形式。

Rewrite each term so the sum telescopes

每一项都可以裂项相消，因为

\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\text{。}

求和后，中间所有阶乘的倒数都相消，只剩下

1-\frac1{2022!}\text{。}

因此，

a=1, b=2022

，所以

a+b=2023

。

所以正确答案是 D。

Each term telescopes because

\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.

Summing makes every intermediate factorial reciprocal cancel, leaving

1-\frac1{2022!}.

Hence

a=1, b=2022,

and

a+b=2023.

Thus, our answer is D .

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