Question

和式可写成 $a-\dfrac{1}{b!}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。求 $a+b$ 。 $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$

The sum $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$ can be expressed as $a-\dfrac{1}{b!},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$\ 2020$

$\ 2021$

$\ 2022$

$\ 2023$

$\ 2024$

答案：D

知识点：裂项相消阶乘数学归纳法

难度评级：1220

解答：

我们先证明 $a=1, b=2022$ ， $a+b=2023$ 。 $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ $1-\frac1{2022!}.$

可以用归纳法证明这一恒等式。，。假设结论对成立，则下一步为代入，得到，所以，两数之和为。所以答案是 D。

Each term telescopes because $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ Summing makes every intermediate factorial reciprocal cancel, leaving $1-\frac1{2022!}.$ Hence $a=1, b=2022,$ and $a+b=2023.$

Thus, our answer is D .

2022 AMC 10B 第 9 题

答案：D

难度评级：1220

解答：

其他年份的第 9 题