2022 AMC 10B 第 7 题

Question

对多少个常数

k

，多项式

x^{2}+kx+36

有两个不同的整数根？

For how many values of the constant

k

will the polynomial

x^{2}+kx+36

have two distinct integer roots?

\ 6

\ 8

\ 9

\ 14

\ 16

答案：B

知识点：韦达定理因数系统列举

难度评级：1070

小提示：

不同的根对会给出不同的 k 值

Different root pairs give different values of k

大提示：

两个整数根必须构成

36

的因数对

Integer roots must be factor pairs of

36

解答：

设两个根为

r,s

。展开

(x-r)(x-s)

得到

x^2-(r+s)x+rs

。与题中多项式比较系数，可得

rs=36

且

r+s=-k

。

因此，需要找出满足

rs = 36

的不同整数

r

和

s

。所有可能的因数对为

\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}

以及

\pm\{4,9\}\text{。}

每个无序因数对都会给出一个不同的

k

值，所以共有

8

个可能的

k

值。

所以正确答案是 B。

Let the roots be

r,s.

Expanding

(x-r)(x-s)

gives

x^2-(r+s)x+rs.

Comparing coefficients with the given polynomial yields

rs=36

and

r+s=-k.

Therefore, we need

r

and

s

distinct such that

rs = 36.

All the possible factor pairs are

\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}

and

\pm\{4,9\}.

Each of these unordered pairs produces a unique value for

k,

so there are

8

possible values for

k.

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10B 第 7 题

答案：B

难度评级：1070

小提示：

大提示：

解答：

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