Question

对多少个常数 $k$ ，多项式 $x^{2}+kx+36$ 有两个不同的整数根？

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^{2}+kx+36$ have two distinct integer roots?

$\ 6$

$\ 8$

$\ 9$

$\ 14$

$\ 16$

答案：B

知识点：韦达定理因数系统列举

难度评级：1070

解答：

设两个根为 $r,s$ 。由韦达定理， $(x-r)(x-s)$ ，且 $x^2-(r+s)x+rs$ 。相应的因式分解为 $rs=36$ $r+s=-k$ 。

因此需要 $r$ 和 $s$ 是互不相同的整数，并满足 $rs = 36$ 。所有可能的因数对为以及 $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ $\pm\{4,9\}.$

不同整数根对应不同的无序因数对。共有 $8$ 个因数对，每一对都给出一个不同的 $k$ ，所以符合条件的系数共有八个。这里的未知系数就是 $k$ 。

所以正确答案是 B。

Let the roots be $r,s.$ Expanding $(x-r)(x-s)$ gives $x^2-(r+s)x+rs.$ Comparing coefficients with the given polynomial yields $rs=36$ and $r+s=-k.$

Therefore, we need $r$ and $s$ distinct such that $rs = 36.$ All the possible factor pairs are $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ and $\pm\{4,9\}.$

Each of these unordered pairs produces a unique value for $k,$ so there are $8$ possible values for $k.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10B 第 7 题

答案：B

难度评级：1070

解答：

其他年份的第 7 题