Question

边数为 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 的正多边形内接于同一个圆。任意两个多边形不共用顶点，并且没有三条边交于同一点。在圆内部，有多少个点是其中两个多边形的边的交点？

Regular polygons with $5,$ $6,$ $7,$ and $8$ sides are inscribed in the same circle. No two of the polygons share a vertex, and no three of their sides intersect at a common point. At how many points inside the circle do two of their sides intersect?

$52$

$56$

$60$

$64$

$68$

答案：E

知识点：交点计数正多边形数对计数

难度评级：2110

解答：

对内接同圆且无共点顶点的正 $k$ 边形和正 $n$ 边形，其中 $k\lt n$ ，它们的边界相交于 $2k$ 个点。

较小多边形的每条边会被较大多边形边界穿过两次。 $5$ 边形与各较大多边形分别贡献 $2\cdot5$ 个交点，对应的边数为 $6$ 、 $7$ 、 $8$ ； $6$ 边形与各较大多边形分别贡献 $2\cdot6$ 个交点，对应的边数为 $7$ 、 $8$ ； $7$ 边形贡献 $2\cdot7$ 个交点，对应边数为 $8$ 。

对所有多边形对求和。 $3(10)+2(12)+14=68.$

所以正确答案是 E。

For a regular $k$ -gon and a regular $n$ -gon inscribed in the same circle with $k\lt n$ and no shared vertices, their boundaries intersect in $2k$ points. Each side of the smaller polygon is crossed twice by the boundary of the larger polygon.

Therefore, sum over all pairs of polygons. The $5$ -gon contributes $2\cdot5$ intersections with each of the $6$ -, $7$ -, and $8$ -gons. The $6$ -gon contributes $2\cdot6$ intersections with each of the $7$ - and $8$ -gons. The $7$ -gon contributes $2\cdot7$ with the $8$ -gon.

The total is $3(10)+2(12)+14=68.$

Thus, the answer is E .

2021 AMC 10B Fall 第 21 题

答案：E

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 21 题