Question

Una 同时掷 $6$ 个标准 $6$ 面骰，并计算掷出的 $6$ 个数的乘积。这个乘积能被 $4$ 整除的概率是多少？

Una rolls $6$ standard $6$ -sided dice simultaneously and calculates the product of the $6$ numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by $4?$

$\dfrac34$

$\dfrac{57}{64}$

$\dfrac{59}{64}$

$\dfrac{187}{192}$

$\dfrac{63}{64}$

答案：C

知识点：骰子（概率）对立事件概率分类讨论

难度评级：1140

解答：

计算补事件，也就是乘积不能被 $4$ 整除。这发生在乘积中没有因子 $2$ ，或恰好有一个因子 $2$ 时。

六个骰子全为奇数的概率为 $(\frac12)^6=\frac1{64}$ 。恰好有一个因子 $2$ ，意味着唯一一个骰子掷出 $2$ 或 $6$ ，其余五个为奇数，概率为 $6\cdot\frac26\cdot\left(\frac12\right)^5=\frac4{64}.$

补事件的概率为 $\frac5{64}$ ，所以所求概率为 $1-\frac5{64}=\frac{59}{64}$ 。

所以正确答案是 C。

Count the complement, where the product is not divisible by $4.$ This happens if the product has no factor of $2,$ or exactly one factor of $2.$

All dice odd has probability $(\frac12)^6=\frac1{64}.$ Exactly one factor of $2$ means exactly one die is $2$ or $6,$ and the other five dice are odd. This has probability $6\cdot\frac26\cdot\left(\frac12\right)^5=\frac4{64}.$

The complement has probability $\frac5{64},$ so the desired probability is $1-\frac5{64}=\frac{59}{64}.$

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Fall 第 14 题

答案：C

难度评级：1140

解答：

其他年份的第 14 题