2020 AMC 10B 第 9 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

9.

有多少个整数有序对

(x, y)

满足下面的方程

x^{2020}+y^2=2y\text{？}

How many ordered pairs of integers

(x, y)

satisfy the equation

x^{2020}+y^2=2y?

1

2

3

4

无限多个

infinitely many

答案：D

知识点：丢番图方程配方法极限情形界定

难度评级：1070

小提示：

对

y

配方。

Complete the square in

y

大提示：

方程迫使

x^{2020}\le 1

，所以整数

x

只有少数可能。

The equation forces

x^{2020}\le 1,

so only a few integer

x

-values are possible

解答：

移项并配方：

\begin{aligned} &x^{2020}+y^2=2y \\ &\quad \Longrightarrow x^{2020}+(y-1)^2=1\text{。} \end{aligned}

因为

(y-1)^2\ge 0

，所以

x^{2020}\le 1

。由于

x

是整数，只可能有

x=-1,0,1

。

若

x=\pm1

，则

(y-1)^2=0

，所以

y=1

。若

x=0

，则

(y-1)^2=1

，所以

y=0

或

2

。共有

4

个有序对。

所以正确答案是 D。

Move all terms to one side and complete the square:

\begin{aligned} &x^{2020}+y^2=2y \\ &\quad \Longrightarrow x^{2020}+(y-1)^2=1. \end{aligned}

Because

(y-1)^2\ge 0,

we must have

x^{2020}\le 1.

Since

x

is an integer,

x=-1,0,1.

If

x=\pm1,

then

(y-1)^2=0,

so

y=1.

If

x=0,

then

(y-1)^2=1,

so

y=0

or

2.

This gives

4

ordered pairs.

Thus, D is the correct answer.