Question

有多少个整数有序对 $(x, y)$ 满足？ $x^{2020}+y^2=2y?$

How many ordered pairs of integers $(x, y)$ satisfy the equation $x^{2020}+y^2=2y?$

$1$

$2$

$3$

$4$

无限多个

infinitely many

答案：D

知识点：丢番图方程配方法极限情形界定

难度评级：1070

解答：

移项并配方：因为 $(y-1)^2\ge 0$ ，所以 $x^{2020}\le 1$ 。由于 $x$ 是整数，只可能有 $x=-1,0,1$ 。 $\begin{aligned} &x^{2020}+y^2=2y \\ &\quad \Longrightarrow x^{2020}+(y-1)^2=1. \end{aligned}$

若 $x=\pm1$ ，则 $(y-1)^2=0$ ，所以 $y=1$ 。若 $x=0$ ，则 $(y-1)^2=1$ ，所以 $y=0$ 或 $2$ 。共有 $4$ 个有序对。

所以正确答案是 D。

Move all terms to one side and complete the square: $\begin{aligned} &x^{2020}+y^2=2y \\ &\quad \Longrightarrow x^{2020}+(y-1)^2=1. \end{aligned}$ Because $(y-1)^2\ge 0,$ we must have $x^{2020}\le 1.$ Since $x$ is an integer, $x=-1,0,1.$

If $x=\pm1,$ then $(y-1)^2=0,$ so $y=1.$ If $x=0,$ then $(y-1)^2=1,$ so $y=0$ or $2.$ This gives $4$ ordered pairs.

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10B 第 9 题

答案：D

难度评级：1070

解答：

其他年份的第 9 题