Question

函数 $f$ 对所有实数 $x$ 定义为其中 $\lfloor r \rfloor$ 表示不超过实数 $r$ 的最大整数。求 $f$ 的值域。 $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$

The function $f$ is defined by $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ for all real numbers $x,$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r.$ What is the range of $f?$

$\{-1, 0\}$

非正整数集合

The set of nonpositive integers

$\{-1, 0, 1\}$

$\{0\}$

非负整数集合

The set of nonnegative integers

答案：A

知识点：取整函数绝对值分类讨论

难度评级：1370

解答：

若 $x\ge0$ 是整数，则 $\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|$ $f(x)=0$

若 $x$ 为正数，则 $|x|$ $f(x)=0$

现在考虑负的非整数。此时， $x=-k-t$ 是先将 $x$ 取相反数再向下取整，而 $k$ 是先向下取整再取相反数，相当于先取相反数再向上取整。 $0<t<1$ $\lfloor|x|\rfloor=k$ $|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1$ $f(x)=-1$

前者向下取整、后者向上取整，因此后者比前者大，从而所以值域为 $\{-1,0\}$ 。

所以答案是 A。

If $x\ge0$ , then $\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|$ , so $f(x)=0$ .

If $x$ is a negative integer, both terms equal $|x|$ , so again $f(x)=0$ .

If $x$ is negative and not an integer, write $x=-k-t$ , where $k$ is a nonnegative integer and $0<t<1$ . Then $\lfloor|x|\rfloor=k$ , while $|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1$ , so $f(x)=-1$ .

Therefore, the range is $\{-1,0\}.$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B 第 9 题

答案：A

难度评级：1370

解答：

其他年份的第 9 题