2019 AMC 10B 第 9 题

Question

函数

f

对所有实数

x

定义为

f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|

其中

\lfloor r \rfloor

表示不超过实数

r

的最大整数。求

f

的值域。

The function

f

is defined by

f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|

for all real numbers

x,

where

\lfloor r \rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to the real number

r.

What is the range of

f?

\{-1, 0\}

非正整数集合

The set of nonpositive integers

\{-1, 0, 1\}

\{0\}

非负整数集合

The set of nonnegative integers

答案：A

知识点：取整函数绝对值分类讨论

难度评级：1370

小提示：

分别检查正数、整数、负的非整数。

Check positive numbers, integers, and negative non-integers separately

大提示：

对负的非整数，比较先取绝对值再向下取整和先向下取整再取绝对值。

For negative non-integers, compare rounding before and after absolute value

解答：

若

x\ge0

，则

\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|

，所以

f(x)=0

。

若

x

是负整数，则两项都等于

|x|

，所以仍有

f(x)=0

。

若

x

是负数且不是整数，可以写成

x=-k-t

，其中

k

是非负整数，且

0<t<1

。此时

\lfloor|x|\rfloor=k

，而

|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1

，所以

f(x)=-1

。

因此值域为

\{-1,0\}

。

所以答案是 A。

If

x\ge0

, then

\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|

, so

f(x)=0

.

If

x

is a negative integer, both terms equal

|x|

, so again

f(x)=0

.

If

x

is negative and not an integer, write

x=-k-t

, where

k

is a nonnegative integer and

0<t<1

. Then

\lfloor|x|\rfloor=k

, while

|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1

, so

f(x)=-1

.

Therefore, the range is

\{-1,0\}.

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B 第 9 题

答案：A

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

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