Question

设 $S$ 是从 $\{1,2,\dots,12\}$ 中选出的 $6$ 个整数所组成的集合，并满足：若 $a$ 和 $b$ 都属于 $S$ ，且 $a < b$ ，则 $b$ 不是 $a$ 的倍数。 $S$ 中元素的最小可能值是多少？

Let $S$ be a set of $6$ integers taken from $\{1,2,\dots,12\}$ with the property that if $a$ and $b$ are elements of $S$ with $a < b,$ then $b$ is not a multiple of $a.$ What is the least possible value of an element in $S?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$7$

答案：C

知识点：整除性极端原理分类讨论

难度评级：1970

解答：

分情况讨论 $S$ 中的最小元素：

最小元素不可能是 $1$ ，因为这样集合中不能再放入任何其他数。

最小元素也不可能是 $2$ ，因为这时必须选入除 $1$ 以外的所有奇数，而其中 $3$ 和 $9$ 会违反条件。

若最小元素是 $3$ ，可以选 $7$ 和 $11$ ，再从 $4$ 与 $8$ 中选一个，并从 $5$ 与 $10$ 中选一个。

无论怎样选，最多只能得到 $5$ 个元素，所以最小元素不能是 $3$ 。

从 $4$ 开始时，可以选入 $6, 7, 9$ 和 $11$ ，再从 $5$ 与 $10$ 中选一个，便得到一个含 $6$ 个元素的集合。

因此正确答案是 C。

We proceed by casing on possible values for $S:$

$1$ cannot be the smallest element since that would mean that no other number can be in the set.

$2$ cannot be the smallest element since we would have to include every odd number except $1.$ This would make $3$ and $9$ violate the rule.

Let $3$ be the smallest element. Then we can include $7$ and $11.$ We can finally include either $4$ or $8$ and $5$ or $10.$

Either way, the maximum number of elements that we can include is $5,$ so $3$ cannot be the smallest element.

Starting with $4,$ we can include $6, 7, 9$ and $11.$ Finally, we can add either $5$ or $10,$ creating a $6$ -element set.

Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 17 题

答案：C

难度评级：1970

解答：

其他年份的第 17 题