2017 AMC 10B 第 22 题

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22.

半径为

2

的圆的直径

\overline{AB}

延长到圆外一点

D

，使

BD=3

。点

E

满足

ED=5

，且直线

ED

垂直于直线

AD

。线段

\overline{AE}

与圆交于位于

A

和

E

之间的点

C

。求

\triangle ABC

的面积。

The diameter

\overline{AB}

of a circle of radius

2

is extended to a point

D

outside the circle so that

BD=3.

Point

E

is chosen so that

ED=5

and line

ED

is perpendicular to line

AD.

Segment

\overline{AE}

intersects the circle at a point

C

between

A

and

E.

What is the area of

\triangle ABC?

\dfrac{120}{37}

\dfrac{140}{39}

\dfrac{145}{39}

\dfrac{140}{37}

\dfrac{120}{31}

答案：D

知识点：圆周角相似面积比

难度评级：1900

小提示：

利用半圆所对的圆周角得到一个直角三角形。

Use the semicircle angle to get a right triangle

大提示：

通过相似比较

\triangle ABC

和

\triangle AED

。

Compare

\triangle ABC

and

\triangle AED

by similarity

解答：

因为半径为

2

，且

BD =3

，所以

AD = 7

。由于

ED = 5

，且

D

处角为直角，

ADE

的面积为

\dfrac{5\cdot 7}{2} = \dfrac{35}{2}

。

由勾股定理，

AE=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}

。又因为

AB

是直径，所以

\angle ACB

是直角。两个三角形共用

A

处的角，因此由角角相似可知

\triangle ABC\sim\triangle AED

。

它们对应的斜边分别是

AB=4

和

AE=\sqrt{74}

，所以面积之比为

\dfrac{[ABC]}{[AED]}=\left(\dfrac4{\sqrt{74}}\right)^2=\dfrac8{37}\text{。}

因此

[ABC]=\dfrac8{37}\cdot\dfrac{35}{2}=\dfrac{140}{37}\text{。}

所以正确答案是 D。

Since the radius is

2

and

BD =3,

we have

AD = 7.

Since

ED = 5

and the angle at

D

is a right angle, the area of

ADE

is

\dfrac{5\cdot 7}{2} = \dfrac{35}{2} .

By the Pythagorean Theorem,

AE=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}.

Also,

\angle ACB

is a right angle because

AB

is a diameter. The triangles share the angle at

A,

so

\triangle ABC\sim\triangle AED

by angle-angle similarity.

Their corresponding hypotenuses are

AB=4

and

AE=\sqrt{74},

so their area ratio is

\dfrac{[ABC]}{[AED]}=\left(\dfrac4{\sqrt{74}}\right)^2=\dfrac8{37}.

Therefore,

[ABC]=\dfrac8{37}\cdot\dfrac{35}{2}=\dfrac{140}{37}.

Thus, the correct answer is D .