Question

半径为 $2$ 的圆的直径 $\overline{AB}$ 延长到圆外一点 $D$ ，使 $BD=3$ 。点 $E$ 满足 $ED=5$ ，且直线 $ED$ 垂直于直线 $AD$ 。线段 $\overline{AE}$ 与圆交于位于 $A$ 和 $E$ 之间的点 $C$ 。求 $\triangle ABC$ 的面积。

The diameter $\overline{AB}$ of a circle of radius $2$ is extended to a point $D$ outside the circle so that $BD=3.$ Point $E$ is chosen so that $ED=5$ and line $ED$ is perpendicular to line $AD.$ Segment $\overline{AE}$ intersects the circle at a point $C$ between $A$ and $E.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{120}{37}$

$\dfrac{140}{39}$

$\dfrac{145}{39}$

$\dfrac{140}{37}$

$\dfrac{120}{31}$

答案：D

知识点：圆周角相似面积比

难度评级：1900

解答：

因为半径为 $2$ ，且 $BD =3$ ，所以 $AD = 7$ 。由于 $ED = 5$ ，且 $D$ 处角为直角， $ADE$ 的面积为 $\dfrac{5\cdot 7}{2} = \dfrac{35}{2}$ 。

另外，由勾股定理， $AE=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}$ 的值为 $\angle ACB$ 。又因为 $AB$ 是直径，所以 $A$ 是直角。因此由角角相似，有 $\triangle ABC\sim\triangle AED$ 。

因此 $AB=4$ 的面积等于 $AE=\sqrt{74}$ 的面积乘以，于是面积为 $\dfrac{[ABC]}{[AED]}=\left(\dfrac4{\sqrt{74}}\right)^2=\dfrac8{37}.$ $[ABC]=\dfrac8{37}\cdot\dfrac{35}{2}=\dfrac{140}{37}.$

所以正确答案是 D。

Since the radius is $2$ and $BD =3,$ we have $AD = 7.$ Since $ED = 5$ and the angle at $D$ is a right angle, the area of $ADE$ is $\dfrac{5\cdot 7}{2} = \dfrac{35}{2} .$

By the Pythagorean Theorem, $AE=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}.$ Also, $\angle ACB$ is a right angle because $AB$ is a diameter. The triangles share the angle at $A,$ so $\triangle ABC\sim\triangle AED$ by angle-angle similarity.

Their corresponding hypotenuses are $AB=4$ and $AE=\sqrt{74},$ so their area ratio is $\dfrac{[ABC]}{[AED]}=\left(\dfrac4{\sqrt{74}}\right)^2=\dfrac8{37}.$ Therefore, $[ABC]=\dfrac8{37}\cdot\dfrac{35}{2}=\dfrac{140}{37}.$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B 第 22 题

答案：D

难度评级：1900

解答：

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