2016 AMC 10B 第 14 题

Question

有多少个边平行于坐标轴、顶点坐标都是整数的正方形完全位于由直线

y=\pi x

、直线

y=-0.1

和直线

x=5.1

围成的区域内？

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line

y=\pi x,

the line

y=-0.1

and the line

x=5.1?

\ 30

\ 41

\ 45

\ 50

\ 57

答案：D

知识点：格点图形中的形状计数分类讨论

难度评级：1970

小提示：

对每一种边长，数可能的左上顶点格点。

For each square size, count possible top-left lattice points

大提示：

只有边长

1,2,3

的正方形能放入。

Only side lengths

1,2,3

can fit

解答：

正方形必须在

y=-0.1

上方、

x=5.1

左方、且在

y=\pi x

下方。因为

\pi

略大于

3

，在

x=1,2,3,4

处可用的整数高度分别是

3,6,9,12

，边长大于

3

的正方形不能完全放入。

按左上顶点和边长计数。边长为

1

时有

3+6+9+12=30

个；边长为

2

时有

2+5+8=15

个；边长为

3

时有

1+4=5

个。

总数为

30+15+5=50

。

所以正确答案是 D。

A square must lie above

y=-0.1

, to the left of

x=5.1

, and below

y=\pi x

. Since

\pi

is a little more than

3

, the lattice heights available at

x=1,2,3,4

are

3,6,9,12

, and side lengths larger than

3

cannot fit.

Count by side length using the top-left lattice point. For side length

1

, there are

3+6+9+12=30

choices. For side length

2

, there are

2+5+8=15

choices. For side length

3

, there are

1+4=5

choices.

The total is

30+15+5=50

.

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 10B 第 14 题

答案：D

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

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