2014 AMC 10A 第 7 题

Question

非零实数

x

、

y

、

a

和

b

满足

x < a

且

y < b

。下面四个不等式中有多少个必然成立？

(I)

x + y \lt a + b

(II)

x - y \lt a - b

(III)

xy \lt ab

(IV)

\dfrac{x}{y} \lt \dfrac{a}{b}

Nonzero real numbers

x,

y,

a,

and

b

satisfy

x < a

and

y < b.

How many of the following inequalities must be true?

(I)

x + y \lt a + b

(II)

x - y \lt a - b

(III)

xy \lt ab

(IV)

\dfrac{x}{y} \lt \dfrac{a}{b}

0

1

2

3

4

答案：B

知识点：不等式反例

难度评级：1140

小提示：

同向不等式相加是安全的。

Adding inequalities with the same direction is safe

大提示：

对其他不等式找反例。

Find counterexamples for the other proposed inequalities

解答：

把两个不等式相加，得到

x + y \lt a + b\text{，}

所以 (I) 必然成立。

不等式不能直接相减，所以 (II) 不一定成立。

例如取

x = 1

、

y = 1

、

a = 2

、

b = 3

，就会得到错误的不等式

0 \lt -1

。

(III) 也不一定成立，因为

x

和

y

可能都是负数。

取

x = -3

、

y = -2

、

a = 1

、

b = 1

，则

xy = 6

，而

ab = 1

，所以 (III) 不成立。

(IV) 也有同样的问题。使用同一组数，有

\dfrac{x}{y} = 1.5

，而

\dfrac{a}{b} = 1

。

因此只有 (I) 必然成立。

所以正确答案是 B。

Adding the two inequalities together gets us

x + y \lt a + b,

which shows that (I) is correct.

One cannot subtract inequalities, which means that (II) is not necessarily true.

Consider

x = 1,

y = 1,

a = 2,

and

b = 3

as a counter-example. This would give us

0 \lt -1.

(III) is also not always true, since

x

and

y

might be negative numbers.

Let

x = -3,

y = -2,

a = 1,

and

b = 1.

Then

xy = 6

and

ab = 1

which shows that (III) is wrong.

The same thing occurs with (IV) . Using the same values as above, we have

\dfrac{x}{y} = 1.5

and

\dfrac{a}{b} = 1.

This shows that (I) is the only true statement.

Thus, B is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 7 题

答案：B

难度评级：1140

小提示：

大提示：

解答：

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