2013 AMC 10A 第 25 题

Question

在一个正八边形中画出全部

20

条对角线。在八边形内部，不在边界上的位置，有多少个不同的点是两条或更多对角线的交点？

All

20

diagonals are drawn in a regular octagon. At how many distinct points in the interior of the octagon (not on the boundary) do two or more diagonals intersect?

49

65

70

96

128

答案：A

知识点：交点计数正多边形组合

难度评级：2180

小提示：

先从由四个顶点确定的

\binom84

个交点开始。

Start with

\binom84

intersections from four vertices

大提示：

再修正中心点和另外八个三线共点的位置。

Correct for the center and the eight other triple-concurrence points

解答：

若没有三条对角线共点，每选

4

个顶点会确定一个内部交点，共

\binom84=70

个。

通过对顶点的

4

条长对角线都在中心相交。中心原本被数了

\binom42=6

次，但应只数一次，所以减去

5

。

另外还有

8

个对称位置各有

3

条对角线共点。每个位置原本被数

\binom32=3

次，但应只数一次，所以再减去

8(3-1)=16

。

不同内部交点数为

70-5-16=49

。

所以正确答案是 A。

If no three diagonals were concurrent, each choice of

4

vertices would determine one interior intersection, giving

\binom84=70

.

The

4

long diagonals through opposite vertices all meet at the center, so the center was counted

\binom42=6

times and should be counted once. Subtract

5

.

There are also

8

symmetric points where

3

diagonals meet. Each was counted

\binom32=3

times and should be counted once, so subtract

8(3-1)=16

.

The number of distinct interior intersection points is

70-5-16=49

.

Thus, A is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 25 题

答案：A

难度评级：2180

小提示：

大提示：

解答：

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