2013 AMC 10A 第 18 题

Question

设点

A=(0,0)

，

B=(1,2)

，

C=(3,3)

，

D=(4,0)

。一条经过

A

的直线把四边形

ABCD

分成面积相等的两部分。该直线与

\overline{CD}

交于点

\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)

，其中两个分数均为最简形式。

p+q+r+s

是多少？

Let points

A=(0,0),

B=(1,2),

C=(3,3),

and

D=(4,0).

Quadrilateral

ABCD

is cut into equal area pieces by a line passing through

A.

This line intersects

\overline{CD}

at point

\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),

where these fractions are in lowest terms. What is

p+q+r+s?

54

58

62

70

75

答案：B

知识点：坐标几何面积分割一次方程

难度评级：1660

小提示：

先求四边形

ABCD

的总面积。

First compute the total area of

ABCD

大提示：

经过

A

的分割线使

\triangle ADG

的面积等于四边形面积的一半。

The cutting line through

A

makes

\triangle ADG

half the quadrilateral area

解答：

设分割线与

\overline{CD}

交于

G

。如图，从

B

、

C

和

G

向

x

-轴作垂线。

由图中分割可得

\triangle ABF

、梯形

BCEF

、

\triangle CDE

的面积分别为

1

、

5

和

\frac32

，所以

[ABCD]=\frac{15}{2}

。

因此

\triangle ADG

面积为

\frac{15}{4}

。因为

AD=4

，点

G

的高度为

\frac{15}{8}

。

直线

CD

的方程为

y=-3x+12

，所以

\frac{15}{8}=-3x+12

，得到

x=\frac{27}{8}

。因此

p+q+r+s

=27+8+15+8

=58

。

所以正确答案是 B。

Let the cutting line meet

\overline{CD}

at

G

. Drop perpendiculars from

B

,

C

, and

G

to the

x

-axis as in the diagram.

The areas of

\triangle ABF

, trapezoid

BCEF

, and

\triangle CDE

are

1

,

5

, and

\frac32

, respectively, so

[ABCD]=\frac{15}{2}

.

Thus

\triangle ADG

has area

\frac{15}{4}

. Since

AD=4

, the height of

G

is

\frac{15}{8}

.

The line

CD

has equation

y=-3x+12

, so

\frac{15}{8}=-3x+12

, giving

x=\frac{27}{8}

. Therefore

p+q+r+s

=27+8+15+8

=58

.

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 18 题

答案：B

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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