Question

设一条经过 $A$ 的直线把四边形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分。该直线与 $\overline{CD}$ 交于点 $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ ，其中两个分数均为最简形式。求的值。 $A=(0,0)$ ， $B=(1,2)$ ， $C=(3,3)$ ， $D=(4,0)$ 。 $p+q+r+s$ ？

Let points $A=(0,0),$ $B=(1,2),$ $C=(3,3),$ and $D=(4,0).$ Quadrilateral $ABCD$ is cut into equal area pieces by a line passing through $A.$ This line intersects $\overline{CD}$ at point $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ where these fractions are in lowest terms. What is $p+q+r+s?$

$54$

$58$

$62$

$70$

$75$

答案：B

知识点：坐标几何面积分割一次方程

难度评级：1660

解答：

设分割线与 $\overline{CD}$ 交于 $G$ 。如图，从 $B$ 、 $C$ 和 $G$ 向 $x$ -轴作垂线。

由图中分割可得 $\triangle ABF$ 、梯形 $BCEF$ 、 $\triangle CDE$ 的面积分别为 $1$ 、 $5$ 和 $\frac32$ ，所以 $[ABCD]=\frac{15}{2}$ 。

因此 $\triangle ADG$ 面积为 $\frac{15}{4}$ 。因为 $AD=4$ ，点 $G$ 的高度为 $\frac{15}{8}$ 。

直线 $CD$ 的方程为 $y=-3x+12$ ，所以 $\frac{15}{8}=-3x+12$ ，得到 $x=\frac{27}{8}$ 。因此 $p+q+r+s$ $=27+8+15+8$ $=58$ 。

所以正确答案是 B。

Let the cutting line meet $\overline{CD}$ at $G$ . Drop perpendiculars from $B$ , $C$ , and $G$ to the $x$ -axis as in the diagram.

The areas of $\triangle ABF$ , trapezoid $BCEF$ , and $\triangle CDE$ are $1$ , $5$ , and $\frac32$ , respectively, so $[ABCD]=\frac{15}{2}$ .

Thus $\triangle ADG$ has area $\frac{15}{4}$ . Since $AD=4$ , the height of $G$ is $\frac{15}{8}$ .

The line $CD$ has equation $y=-3x+12$ , so $\frac{15}{8}=-3x+12$ , giving $x=\frac{27}{8}$ . Therefore $p+q+r+s$ $=27+8+15+8$ $=58$ .

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 18 题

答案：B

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 18 题