Question

前 $m$ 个正奇数的和比前 $n$ 个正偶数的和多 $212$ 。所有可能的 $n$ 的和是多少？

The sum of the first $m$ positive odd integers is $212$ more than the sum of the first $n$ positive even integers. What is the sum of all possible values of $n?$

$255$

$256$

$257$

$258$

$259$

答案：A

知识点：求和平方差丢番图方程

难度评级：2260

解答：

前 $m$ 个正奇数之和为 $m^2$ ，前 $n$ 个正偶数之和为 $n(n+1)$ 。因此 $m^2=n(n+1)+212$ 。

把它看成关于 $n$ 的二次方程，判别式为 $1-4(212-m^2)=4m^2-847$ ，必须是一个奇平方数。设 $p^2=4m^2-847$ ，则 $(2m+p)(2m-p)=847$ 。

$847$ 的正因数配对为 $847\cdot1$ 、 $121\cdot7$ 和 $77\cdot11$ 。它们分别给出 $p=423,57,33$ 。

因为 $n=\dfrac{-1+p}{2}$ ，所以 $n$ 的可能值为 $211,28,16$ ，它们的和为 $255$ 。

所以正确答案是 A。

The first $m$ positive odd integers sum to $m^2$ , and the first $n$ positive even integers sum to $n(n+1)$ . Thus $m^2=n(n+1)+212$ .

As a quadratic in $n$ , this has discriminant $1-4(212-m^2)=4m^2-847$ , which must be an odd square. Let $p^2=4m^2-847$ . Then $(2m+p)(2m-p)=847$ .

The positive factor pairs of $847$ are $847\cdot1$ , $121\cdot7$ , and $77\cdot11$ . They give $p=423,57,33$ , respectively.

Because $n=\dfrac{-1+p}{2}$ , the possible values of $n$ are $211,28,16$ . Their sum is $255$ .

Thus, A is the correct answer.

2012 AMC 10A 第 22 题

答案：A

难度评级：2260

解答：

其他年份的第 22 题