Question

设 $a \gt 0$ ，且 $P(x)$ 是一个整系数多项式，满足并且 $a$ 的最小可能值是多少？ $\begin{aligned} P(1) &= P(3) \\ &= P(5) = P(7) = a, \end{aligned}$ $P(2) = P(4) = P(6) = P(8)$ $= -a.$

Let $a \gt 0,$ and let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that $\begin{aligned} P(1) &= P(3) \\ &= P(5) = P(7) = a, \end{aligned}$ and $P(2) = P(4) = P(6) = P(8)$ $= -a.$ What is the smallest possible value of $a?$

$105$

$315$

$945$

$7!$

$8!$

答案：B

知识点：多项式整除性最小公倍数

难度评级：2350

解答：

因为 $1,3,5,7$ 是 $P(x)-a$ 的根，可写成 $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ ，其中 $Q(x)$ 也有整数系数。

代入 $x=2,4,6,8$ ，得到 $-2a=-15Q(2)$ $=9Q(4)$ $=-15Q(6)$ $=105Q(8)$ 。因此 $a$ 必须是 $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ 的倍数。

这个下界可以达到：取 $Q(x)=42$ $+(x-2)(x-6)(60-8x)$ ，并定义 $P(x)=315$ $+(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ 。该多项式有整数系数并满足所有要求。

所以正确答案是 B。

Because $1,3,5,7$ are roots of $P(x)-a$ , write $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ , where $Q(x)$ has integer coefficients.

Substituting $x=2,4,6,8$ gives $-2a=-15Q(2)$ $=9Q(4)$ $=-15Q(6)$ $=105Q(8)$ . Hence $a$ must be a multiple of $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ .

This lower bound is attainable: take $Q(x)=42$ $+(x-2)(x-6)(60-8x)$ and define $P(x)=315$ $+(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ . This polynomial has integer coefficients and satisfies the required values.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B 第 25 题

答案：B

难度评级：2350

解答：

其他年份的第 25 题