2010 AMC 10B 第 25 题

Question

设

a \gt 0

，且

P(x)

是一个整系数多项式，满足

\begin{aligned} P(1) &= P(3) \\ &= P(5) = P(7) = a \end{aligned}\text{，}

并且

\begin{aligned} P(2)&=P(4)=P(6)\\ &=P(8)=-a \end{aligned}\text{。}

a

的最小可能值是多少？

Let

a \gt 0,

and let

P(x)

be a polynomial with integer coefficients such that

\begin{aligned} P(1) &= P(3) \\ &= P(5) = P(7) = a, \end{aligned}

and

\begin{aligned} P(2)&=P(4)=P(6)\\ &=P(8)=-a. \end{aligned}

What is the smallest possible value of

a?

105

315

945

7!

8!

答案：B

知识点：多项式整除性最小公倍数

难度评级：2350

小提示：

使用

P(x)-a

的根。

Use the roots of

P(x)-a

大提示：

将

2

、

4

、

6

和

8

代入因式分解形式，迫使

a

满足整除条件。

Plug

2,

4,

6,

and

8

into the factored form to force divisibility of

a

解答：

因为

1

、

3

、

5

和

7

是

P(x)-a

的根，可写成

P(x)-a=(x-1)(x-3)

\cdot(x-5)(x-7)Q(x)

，其中

Q(x)

也有整数系数。

将

2

、

4

、

6

和

8

代入

x

，得到

-2a=-15Q(2)

=9Q(4)

=-15Q(6)

=105Q(8)

。因此

a

必须是

\operatorname{lcm}(15,9,105)=315

的倍数。

这个下界可以达到：取

Q(x)=42

+(x-2)(x-6)(60-8x)

，并定义

P(x)=315

+(x-1)(x-3)

\cdot(x-5)(x-7)Q(x)

。该多项式有整数系数并满足所有要求。

所以正确答案是 B。

Because

1,

3,

5,

and

7

are roots of

P(x)-a

, write

P(x)-a=(x-1)(x-3)

\cdot(x-5)(x-7)Q(x)

, where

Q(x)

has integer coefficients.

Substituting

2,

4,

6,

and

8

for

x

gives

-2a=-15Q(2)

=9Q(4)

=-15Q(6)

=105Q(8)

. Hence

a

must be a multiple of

\operatorname{lcm}(15,9,105)=315

.

This lower bound is attainable: take

Q(x)=42

+(x-2)(x-6)(60-8x)

and define

P(x)=315

+(x-1)(x-3)

\cdot(x-5)(x-7)Q(x)

. This polynomial has integer coefficients and satisfies the required values.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B 第 25 题

答案：B

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

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