Question

多项式有三个正整数根。 $a$ 的最小可能值是多少？ $x^3-ax^2+bx-2010$

The polynomial $x^3-ax^2+bx-2010$ has three positive integer roots. What is the smallest possible value of $a?$

$78$

$88$

$98$

$108$

$118$

答案：A

知识点：韦达定理质因数分解最优化

难度评级：2070

解答：

设三个正整数根为 $r\le s\le t$ 。由韦达定理， $rst=2010$ 且 $a=r+s+t$ 。

因为 $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$ ，某个根必须能被 $67$ 整除。如果这个根大于 $67$ ，则至少为 $134$ ，已经比下面构造的和更大。

因此取 $t=67$ ，并在 $rs=30$ 下最小化 $r+s$ 。和最小的因数对是 $5$ 和 $6$ ，所以 $a=5+6+67=78$ 。

所以正确答案是 A。

Let the roots be positive integers $r\le s\le t.$ By Vieta's formulas, $rst=2010$ and $a=r+s+t.$

Since $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ one root must be divisible by $67.$ If that root is larger than $67,$ then it is at least $134,$ which is already worse than the construction below.

Thus take $t=67$ and minimize $r+s$ with $rs=30.$ The factor pair with smallest sum is $5$ and $6,$ so $a=5+6+67=78.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 10A 第 21 题

答案：A

难度评级：2070

解答：

其他年份的第 21 题