Question

设 $a$ 和 $b$ 是方程 $x^2-mx+2=0$ 的根。又设 $a+\tfrac1b$ 和 $b+\tfrac1a$ 是方程 $x^2-px+q=0$ 的根。求 $q$ 的值。

Let $a$ and $b$ be the roots of the equation $x^2-mx+2=0.$ Suppose that $a+\tfrac1b$ and $b+\tfrac1a$ are the roots of the equation $x^2-px+q=0.$ What is $q?$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$\dfrac{9}{2}$

$8$

答案：D

知识点：韦达定理对称性（代数）

难度评级：1480

解答：

因为 $a$ 和 $b$ 是 $x^2-mx+2$ 的根，所以 $ab=2$ 。

$q$ 是新方程两根的乘积： $\begin{aligned} q&=\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)\\ &=ab+1+1+\tfrac{1}{ab}\\ &=2+2+\tfrac12=\tfrac92. \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

Since $a$ and $b$ are roots of $x^2-mx+2,$ we have $ab=2.$

The value $q$ is the product of the new roots: $\begin{aligned} q&=\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)\\ &=ab+1+1+\tfrac{1}{ab}\\ &=2+2+\tfrac12=\tfrac92. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10B 第 14 题

答案：D

难度评级：1480

解答：

其他年份的第 14 题