2006 AMC 10B 第 14 题

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14.

设

a

和

b

是方程

x^2-mx+2=0

的根。又设

a+\tfrac1b

和

b+\tfrac1a

是方程

x^2-px+q=0

的根。求

q

的值。

Let

a

and

b

be the roots of the equation

x^2-mx+2=0.

Suppose that

a+\tfrac1b

and

b+\tfrac1a

are the roots of the equation

x^2-px+q=0.

What is

q?

\dfrac{5}{2}

\dfrac{7}{2}

4

\dfrac{9}{2}

8

答案：D

知识点：韦达定理对称性（代数）

难度评级：1480

小提示：

由韦达定理，

ab=2

。

By Vieta’s formulas,

ab=2

大提示：

q

是乘积

\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)

。

q

is the product

\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)

解答：

因为

a

和

b

是

x^2-mx+2

的根，所以

ab=2

。

q

是新方程两根的乘积：

\begin{aligned} q&=\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)\\ &=ab+1+1+\tfrac{1}{ab}\\ &=2+2+\tfrac12=\tfrac92 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Since

a

and

b

are roots of

x^2-mx+2,

we have

ab=2.

The value

q

is the product of the new roots:

\begin{aligned} q&=\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)\\ &=ab+1+1+\tfrac{1}{ab}\\ &=2+2+\tfrac12=\tfrac92. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.