Question

对于多少个不超过 $24$ 的正整数 $n$ ， $n!$ 能被 $1 + 2 + \cdots + n$ 整除？

For how many positive integers $n$ less than or equal to $24$ is $n!$ evenly divisible by $1 + 2 + \cdots + n?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$21$

答案：C

知识点：三角形数阶乘整除性质数

难度评级：1990

解答：

因为 $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ 整除条件等价于 $\dfrac{n!}{n(n+1)/2} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ 是整数。

令 $N=n+1.$ 若 $N$ 是合数但不是完全平方数，它有两个不同的真因数，其乘积为 $N;$ 而这两个因数都出现在 $(N-2)!=(n-1)!.$ 中。若 $N=k^2$ 且 $k\ge3,$ 因数 $k$ 和 $2k$ 都出现在该阶乘中，所以阶乘含有 $2N.$ 的倍数。剩下的合数情形 $N=4,$ 也整除 $2(N-2)!=4.$ 因此当 $N$ 是合数时，分式为整数。若 $N=n+1$ 是奇质数，它既不整除 $(n-1)!$ ，也不整除 $2,$ 所以分式不是整数。偶质数 $N=2$ 给出 $n=1,$ 符合条件。

不超过 $25$ 的奇质数是 $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,$ 对应 $8$ 个不符合条件的 $n.$ 所以有 $24 - 8 = 16$ 个值符合条件。

所以正确答案是 C。

Since $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ divisibility is equivalent to $\dfrac{n!}{n(n+1)/2} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ being an integer.

Put $N=n+1.$ If $N$ is composite and not a square, it has two distinct proper factors whose product is $N;$ both occur in $(N-2)!=(n-1)!.$ If $N=k^2$ with $k\ge3,$ the factors $k$ and $2k$ occur in that factorial, so it contains a multiple of $2N.$ The remaining composite case, $N=4,$ also divides $2(N-2)!=4.$ Thus the fraction is an integer whenever $N$ is composite. If $N=n+1$ is an odd prime, it divides neither $(n-1)!$ nor $2,$ so the fraction is not an integer. The even prime $N=2$ gives $n=1,$ which works.

The odd primes at most $25$ are $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,$ giving $8$ failing values of $n.$ Hence $24 - 8 = 16$ values work.

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B 第 22 题

答案：C

难度评级：1990

解答：

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