Question

等边三角形 $\triangle ABC$ 的边长为 $2$ ， $M$ 是 $\overline{AC}$ 的中点，且 $C$ 是 $\overline{BD}$ 的中点。 $\triangle CDM$ 的面积是多少？

Equilateral $\triangle ABC$ has side length $2,$ $M$ is the midpoint of $\overline{AC},$ and $C$ is the midpoint of $\overline{BD}.$ What is the area of $\triangle CDM?$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

$\sqrt{2}$

答案：C

知识点：等边三角形三角形面积中点

难度评级：1370

解答：

以 $\overline{CD}$ 为底。因为 $C$ 是 $\overline{BD}$ 的中点且 $BC = 2$ ，所以 $CD = 2$ 。

$\triangle CDM$ 的高是从 $M$ 到直线 $BD$ 的距离。由于 $M$ 是 $\overline{AC}$ 的中点，这个距离是 $\triangle ABC$ 高的一半，即 $\dfrac12 \cdot \sqrt3 = \dfrac{\sqrt3}{2}$ 。

面积为 $\dfrac12 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\sqrt3}{2}.$

所以正确答案是 C。

Take $\overline{CD}$ as the base. Since $C$ is the midpoint of $\overline{BD}$ and $BC = 2,$ we have $CD = 2.$

The height of $\triangle CDM$ is the distance from $M$ to line $BD.$ Because $M$ is the midpoint of $\overline{AC},$ this distance is half the height of $\triangle ABC,$ which is $\dfrac12 \cdot \sqrt3 = \dfrac{\sqrt3}{2}.$

The area is $\dfrac12 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\sqrt3}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B 第 14 题

答案：C

难度评级：1370

解答：

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