2005 AMC 10A 第 21 题

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21.

对多少个正整数

n

，

1 + 2 + \cdots + n

能整除

6n

？

For how many positive integers

n

does

1 + 2 + \cdots + n

evenly divide

6n?

3

5

7

9

11

答案：B

知识点：三角形数整除性因数

难度评级：1790

小提示：

使用

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

。

Use

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

大提示：

商为

\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1}

；数出哪些

n

使

n + 1

整除

12

。

Then

\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1};

count the

n

for which

n + 1

divides

12

解答：

由

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

可知，商为

\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1}

。它是整数当且仅当

n + 1

整除

12

。

12

的因数中不小于

2

的有

2

、

3

、

4

、

6

、

12

，对应

n = 1

、

2

、

3

、

5

、

11

，共五个值。

所以正确答案是 B。

Since

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},

the quotient is

\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1},

which is an integer exactly when

n + 1

divides

12.

The divisors of

12

that are at least

2

are

2,

3,

4,

6,

12,

giving

n = 1,

2,

3,

5,

11

— five values.

Thus, the correct answer is B.