2003 AMC 10B 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

符号

\lfloor x \rfloor

表示不超过

x

的最大整数。例如

\lfloor 3 \rfloor = 3

，

\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4

。计算

\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor \end{gathered}\text{。}

The symbolism

\lfloor x \rfloor

denotes the largest integer not exceeding

x.

For example,

\lfloor 3 \rfloor = 3,

and

\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4.

Compute

\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor. \end{gathered}

35

38

40

42

136

答案：B

知识点：取整函数完全平方数求和

难度评级：1170

小提示：

当且仅当

k^2 \le n \lt (k+1)^2

时，

\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k

。

\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k

exactly when

k^2 \le n \lt (k+1)^2

大提示：

分别数出

1

到

16

中有多少个给出

1

、

2

、

3

和

4

这几个取整值。

Count how many of

1

through

16

give each floor value

1,

2,

3,

and

4

解答：

当

n=1,2,3

时，取整值为

1

；当

n=4,\ldots,8

时，取整值为

2

；当

n=9,\ldots,15

时，取整值为

3

；当

n=16

时，取整值为

4

。因此总和为

3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38\text{。}

所以正确答案是 B。

The value is

1

for

n=1,2,3;

it is

2

for

n=4,\ldots,8;

it is

3

for

n=9,\ldots,15;

and it is

4

for

n=16.

The sum is

3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38.

Thus, the correct answer is B.