2003 AMC 10A 第 22 题

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22.

在长方形

ABCD

中，

AB = 8

，

BC = 9

。点

H

在

\overline{BC}

上且

BH = 6

，点

E

在

AD

上且

DE = 4

。直线

EC

与直线

AH

交于

G

，点

F

在直线

AD

上且

\overline{GF} \perp \overline{AF}

。求

\overline{GF}

的长度。

In rectangle

ABCD,

we have

AB = 8,

BC = 9,

H

is on

\overline{BC}

with

BH = 6,

E

is on

AD

with

DE = 4,

line

EC

intersects line

AH

at

G,

and

F

is on line

AD

with

\overline{GF} \perp \overline{AF}.

Find the length

\overline{GF}.

16

20

24

28

30

答案：B

知识点：坐标几何一次方程

难度评级：1800

小提示：

将

D

放在原点，

A

放在正

x

轴上。

Place

D

at the origin with

A

on the positive

x

-axis

大提示：

求直线

AH

和

EC

的交点；

\overline{GF}

是点

G

到直线

AD

的高度。

Find where line

AH

and line

EC

meet, then

\overline{GF}

is the height of

G

above line

AD

解答：

取坐标

D = (0, 0)

、

A = (9, 0)

、

B = (9, 8)

、

C = (0, 8)

、

H = (3, 8)

、

E = (4, 0)

。

直线

AH

的方程为

y = -\dfrac{4}{3}x + 12

，直线

EC

的方程为

y = -2x + 8

。

联立得

x = -6

、

y = 20

，所以

G = (-6, 20)

。因为

\overline{GF}

垂直于直线

AD

，也就是垂直于

x

轴，所以其长度就是高度

20

。

所以正确答案是 B。

Place

D = (0, 0),

A = (9, 0),

B = (9, 8),

C = (0, 8),

H = (3, 8),

and

E = (4, 0).

Line

AH

has equation

y = -\dfrac{4}{3}x + 12,

and line

EC

has equation

y = -2x + 8.

Setting them equal gives

x = -6

and

y = 20,

so

G = (-6, 20).

Since

\overline{GF}

is perpendicular to line

AD

(the

x

-axis), its length is the height

20.

Thus, the correct answer is B.