Question

设 $n$ 是正整数，并且 $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ 是整数。下列哪一项不正确？

Let $n$ be a positive integer such that $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ is an integer. Which of the following statements is not true?

$2$ 整除 $n$

$2$ divides $n$

$3$ 整除 $n$

$3$ divides $n$

$6$ 整除 $n$

$6$ divides $n$

$7$ 整除 $n$

$7$ divides $n$

$n \gt 84$

答案：E

知识点：分数整除性极限情形界定

难度评级：1170

解答：

该和大于 $0$ 。这里的和是 $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ ，并且小于 $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + 1 \lt 2$ ，所以作为整数只能等于 $1$ 。

因为 $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 = \dfrac{41}{42}$ ，所以 $\dfrac1n = \dfrac{1}{42}$ ，即 $n = 42$ 。

具体说， $2$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $7$ 都整除 $42$ ，而 $n = 42$ 不大于 $84$ ，所以 $n \gt 84$ 为假。

所以正确答案是 E。

The sum $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ is greater than $0$ and less than $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + 1 \lt 2,$ so as an integer it must equal $1.$

Since $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 = \dfrac{41}{42},$ we need $\dfrac1n = \dfrac{1}{42},$ so $n = 42.$

Then $2,$ $3,$ $6,$ and $7$ all divide $42,$ but $n = 42$ is not greater than $84.$ So the false statement is $n \gt 84.$

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 10B 第 7 题

答案：E

难度评级：1170

解答：

其他年份的第 7 题