2001 AMC 10 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

不超过

2001

的正整数中，有多少个是

3

或

4

的倍数，但不是

5

的倍数？

How many positive integers not exceeding

2001

are multiples of

3

or

4

but not

5?

768

801

934

1067

1167

答案：B

知识点：容斥原理区间内整数计数倍数

难度评级：1530

小提示：

先数

3

或

4

的倍数，再去掉其中也是

5

的倍数的数。

Count the multiples of

3

or

4,

then remove those that are also multiples of

5

大提示：

对

3

、

4

、

12

使用容斥，再对

15

、

20

、

60

使用容斥。

Use inclusion-exclusion with multiples of

3,

4,

12

and then

15,

20,

60

解答：

不超过

2001

的

3

或

4

的倍数共有

\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor

+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor

-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor

=667+500-166

=1001

。

其中是

5

的倍数者，也就是

15

或

20

的倍数，共有

133

加

100

个，但要减去重复计算的

60

的倍数，共

33

个，因此共有

133+100-33=200

个。

所以所求个数为

1001-200=801

。正确答案是 B。

Multiples of

3

or

4

up to

2001:

\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor

+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor

-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor

=667+500-166

=1001.

Among these, remove the multiples of

5:

there are

133

multiples of

15

and

100

multiples of

20,

re-adding the

33

multiples of

60:

133+100-33=200.

So the count is

1001-200=801.

Thus, the correct answer is B.