Question

一个慈善机构卖出 $140$ 张公益票，共收入 $\$2001$ 。一些票按全价出售，全价为整数美元；其余票按半价出售。全价票共筹得多少钱？

A charity sells $140$ benefit tickets for a total of $\$2001.$ Some tickets sell for full price (a whole dollar amount), and the rest sell for half price. How much money is raised by the full-price tickets?

$\$782$

$\$986$

$\$1158$

$\$1219$

$\$1449$

答案：A

知识点：丢番图方程质因数分解极限情形界定

难度评级：1490

解答：

设 $n$ 张全价票每张 $p$ 美元。 $np+(140-n)\dfrac p2=2001$ ， $p(n+140)$ $=4002$ $=2\cdot3\cdot23\cdot29$ 。

则 $140\le n+140\le280$ 。在 $4002$ 的因数中，落在这个范围内的只有 $174=2\cdot3\cdot29$ 。所以 $n+140=174$ ，得 $n=34$ 、 $p=23$ ，全价票收入为 $34\cdot23=782$ 美元。

所以正确答案是 A。

Let $n$ full-price tickets sell at $p$ dollars each. Then $np+(140-n)\dfrac p2=2001,$ so $p(n+140)$ $=4002$ $=2\cdot3\cdot23\cdot29.$

Since $140\le n+140\le280,$ the only factor of $4002$ in range is $174=2\cdot3\cdot29.$ So $n+140=174,$ giving $n=34$ and $p=23.$ The full-price tickets raise $34\cdot23=782$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2001 AMC 10 第 14 题

答案：A

难度评级：1490

解答：

其他年份的第 14 题