2002 AIME II Problem 1

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Given that

(1) $x$ and $y$ are both integers between $100$ and $999,$ inclusive;

(2) $y$ is the number formed by reversing the digits of $x;$ and

(3) $z = |x - y|.$

How many distinct values of $z$ are possible?

Answer

Answer: 9

Concepts:place value digits

Difficulty rating: 1790

Solution:

Write $x = 100h + 10t + u$ with digits $h,$ $t,$ $u.$ Then $y = 100u + 10t + h,$ so $z = |x - y| = 99\,|h - u|.$

Since both $x$ and $y$ are three-digit numbers, both $h$ and $u$ run from $1$ to $9,$ so $|h - u|$ can be any of $0, 1, \ldots, 8.$ Each choice gives a different multiple of $99,$ so there are $9$ distinct values of $z.$

Full Exam

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