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1951 AMC 12 Problema 44

Intenta el Problema 44 del 1951 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1951 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

44.

Si xyx+y=a,\dfrac{xy}{x+y}=a, xzx+z=b,\dfrac{xz}{x+z}=b, y yzy+z=c,\dfrac{yz}{y+z}=c, donde a,a, b,b, y cc son distintos de cero, entonces xx es igual a:
If xyx+y=a,\dfrac{xy}{x+y}=a, xzx+z=b,\dfrac{xz}{x+z}=b, and yzy+z=c,\dfrac{yz}{y+z}=c, where a,a, b,b, cc are other than zero, then xx equals:
abcab+ac+bc\dfrac{abc}{ab+ac+bc}
2abcab+bc+ac\dfrac{2abc}{ab+bc+ac}
2abcab+ac−bc\dfrac{2abc}{ab+ac-bc}
2abcab+bc−ac\dfrac{2abc}{ab+bc-ac}
2abcac+bc−ab\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}
Respuesta: E
Conceptos:sistema de ecuacionesmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1830
Pista pequeña:
Invierte las tres ecuaciones dadas para hacerlas lineales en 1x,1y,1z\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}
Invert all three given equations to make them linear in 1x,1y,1z\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}
Pista grande:
Calcula 1b+1a−1c=2x\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x
Compute 1b+1a−1c=2x\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x
Solución:
Al invertir se obtiene 1x+1y=1a,1x+1z=1b,1y+1z=1c. \begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c. \end{gathered} Al sumar las dos primeras ecuaciones y restar la tercera se obtiene 2x=1a+1b−1c=ac+bc−ababc. \begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc}. \end{aligned} Por consiguiente, x=2abcac+bc−ab.x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Inverting gives 1x+1y=1a,1x+1z=1b,1y+1z=1c. \begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c. \end{gathered} Adding the first two and subtracting the third yields 2x=1a+1b−1c=ac+bc−ababc. \begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc}. \end{aligned} Hence x=2abcac+bc−ab.x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}.
Thus, the correct answer is E.
Problema 43#43
Examen completo
Problema 45#45

El Problema 44 en otros años

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