Question

等腰三角形 $ABC$ 中， $AB$ 和 $BC$ 长度相等。在下图中，画出若干与 $\overline{AC}$ 平行的线段，使 $\triangle ABC$ 的阴影部分面积相同。两个未阴影部分的高分别为 $11$ 和 $5$ 个单位。 $\triangle ABC$ 的高 $h$ 是多少？

Isosceles triangle $ABC$ has equal side lengths $AB$ and $BC.$ In the figures below, segments are drawn parallel to $\overline{AC}$ so that the shaded portions of $\triangle ABC$ have the same area. The heights of the two unshaded portions are $11$ and $5$ units, respectively. What is the height $h$ of $\triangle ABC?$

$14.6$

$14.8$

$15$

$15.2$

$15.4$

答案：A

知识点：相似面积比

难度评级：1930

视频讲解：

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文字解答：

设 $\triangle ABC$ 的面积为 $a$ 。 $11$ ， $a\left(1-\left(\frac{11}{h}\right)^2\right)$ 。

小三角形都与 $h-5$ 相似，因此面积比等于对应高的比例的平方。 $a\left(\frac{h-5}{h}\right)^2$ 。 $a$ $1-\left(\dfrac{11}{h}\right)^2 =\left(\dfrac{h-5}{h}\right)^2.$

由两图阴影面积相等，得到 $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ $10h = 146,$

左边是左图阴影面积，右边是右图阴影三角形面积。 $h=14.6$ 。

化简得再化简：所以正确答案是 A。

Let $a$ be the area of $\triangle ABC.$ The unshaded triangle in the left figure has height $11,$ so the shaded area there is $a\left(1-\left(\frac{11}{h}\right)^2\right).$

In the right figure, the shaded triangle has height $h-5,$ so its area is $a\left(\frac{h-5}{h}\right)^2.$ Equating the shaded areas and canceling $a$ gives $1-\left(\dfrac{11}{h}\right)^2 =\left(\dfrac{h-5}{h}\right)^2.$

Simplifying yields $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ This simplifies to $10h = 146,$

so $h=14.6.$

Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 8 第 24 题

答案：A

难度评级：1930

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