Question

十五个整数 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\cdots$ 、 $a_{15}$ 按顺序排列在数轴上。这些整数等距排列，并满足以下条件：

$1 \leq a_1 \leq 10\text{，}$

$13 \leq a_2 \leq 20\text{，}$

以及

$241 \leq a_{15} \leq 250\text{。}$

$a_{14}$ 的各位数字之和是多少？

Fifteen integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\cdots,$ $a_{15}$ are arranged in order on a number line. The integers are equally spaced and have the property that

$1 \leq a_1 \leq 10,$

$13 \leq a_2 \leq 20,$

and

$241 \leq a_{15} \leq 250.$

What is the sum of the digits of $a_{14}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

答案：A

知识点：等差数列极限情形界定数字

难度评级：1950

小提示：

设公差为 $d$

Let $d$ be the common difference

大提示：

用 $a_1$ 和 $a_{15}$ 的最大范围来限制 $d$

Use the widest possible bounds for $a_1$ and $a_{15}$ to force $d$

视频讲解：

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文字解答：

设公差为 $d$ 。将 $a_1$ 取其最大可能值 $10$ ，将 $a_{15}$ 取其最小可能值 $241$ ，可得 $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5\text{。}$ 因为所有数都是整数，所以 $d$ 至少为 $17$ 。

将 $a_1$ 取其最小可能值 $1$ ，将 $a_{15}$ 取其最大可能值 $250$ ，可得 $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8\text{。}$ 因为所有数都是整数，所以 $d$ 至多为 $17$ 。因此 $d=17$ 。

注意 $17 \cdot 14 = 238$ 。由于 $a_{15}$ 至少为 $241$ ，所以 $a_1$ 至少为 $3$ 。

另一方面，如果 $a_1$ 大于 $3$ ，那么 $a_2=a_1+17$ 就会大于 $20$ ，不符合条件。

所以 $a_1 = 3$ ，且 $d = 17$ 。于是 $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224\text{。}$

数字和为 $2 + 2 + 4 = 8\text{。}$

所以正确答案是 A。

Let $d$ be the common difference. Using the largest possible value $10$ for $a_1$ and the smallest possible value $241$ for $a_{15},$ we have $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Since all the numbers are integers, $d$ must be at least $17.$

Using the smallest possible value $1$ for $a_1$ and the largest possible value $250$ for $a_{15},$ we have $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ Since all the numbers are integers, $d$ is at most $17.$ Therefore, $d=17.$

Note that $17 \cdot 14 = 238.$ Since $a_{15}$ is at least $241,$ $a_1$ must be at least $3.$

On the other hand, if $a_1$ were greater than $3,$ then $a_2=a_1+17$ would be greater than $20,$ which is not allowed.

Now we know that $a_1 = 3$ and $d = 17.$ This tells us that $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Therefore, sum of the digits is $2 + 2 + 4 = 8.$

Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 8 第 25 题