Question

回文数是正着读和倒着读相同的整数。如果忽略冒号，电子表上显示的某些时间也是回文，例如 $1{:}01$ 、 $4{:}44$ 和 $12{:}21$ 。在一个 $12$ 小时周期内，会出现多少个回文时刻？

A palindrome is a whole number that reads the same forwards as backwards. If one neglects the colon, certain times displayed on a digital watch are palindromes. Three examples are $1{:}01,$ $4{:}44,$ and $12{:}21.$ How many times during a $12$ -hour period will be palindromes?

$57$

$60$

$63$

$90$

$93$

答案：A

知识点：回文数分类讨论

难度评级：1380

小提示：

分成一位数小时（ $1$ 到 $9$ ）和两位数小时（ $10$ 、 $11$ 、 $12$ ），因为位数不同

Split into single-digit hours ( $1$ through $9$ ) and two-digit hours ( $10,$ $11,$ $12$ ), since the number of digits differs

大提示：

对一位数小时 $h$ ，时间 $h\!:\!m_1 m_2$ 是回文当且仅当 $m_2 = h$ ，而 $m_1$ 可取 $0$ 到 $5$ 。

For a single-digit hour $h,$ the time $h\!:\!m_1 m_2$ is a palindrome when $m_2 = h,$ leaving $m_1$ free among $0$ through $5$

解答：

对一位数小时 $h$ （从 $1$ 到 $9$ ），显示 $h\!:\!m_1 m_2$ 倒读相同时需要 $m_2 = h$ 。十位分钟 $m_1$ 可以是 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 或 $5$ ，所以每小时有 $6$ 个回文时间，共 $9 \times 6 = 54$ 个。

对两位数小时 $10$ 、 $11$ 、 $12$ ，显示 $h_1 h_2\!:\!m_1 m_2$ 是回文当且仅当 $m_1 = h_2$ 且 $m_2 = h_1$ ，正好得到 $10{:}01$ 、 $11{:}11$ 和 $12{:}21$ ，每个小时一个，共再加 $3$ 个。

总数是 $54 + 3 = 57$ 。

所以正确答案是 A。

For a single-digit hour $h$ (from $1$ to $9$ ), the display $h\!:\!m_1 m_2$ reads the same backwards when $m_2 = h.$ The tens digit $m_1$ can be $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ or $5,$ giving $6$ palindromes per hour, so $9 \times 6 = 54.$

For the two-digit hours $10,$ $11,$ $12,$ the display $h_1 h_2\!:\!m_1 m_2$ is a palindrome when $m_1 = h_2$ and $m_2 = h_1,$ giving exactly $10{:}01,$ $11{:}11,$ and $12{:}21$ — one each, for $3$ more.

The total is $54 + 3 = 57.$

Thus, the correct answer is A .

1988 AMC 8 第 25 题

答案：A

难度评级：1380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题