Question

字母 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 按下图所示的规律填入一个 $20 \times 20$ 表格。完成后的表格中会出现多少个 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ ？

The letters $P,$ $Q,$ and $R$ are entered into a $20 \times 20$ table according to the pattern shown below. How many $P$ s, $Q$ s, and $R$ s will appear in the completed table?

$132$ 个 $P$ ， $134$ 个 $Q$ ， $134$ 个 $R$

$132$ $P$ s, $134$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$133$ 个 $P$ ， $133$ 个 $Q$ ， $134$ 个 $R$

$133$ $P$ s, $133$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$133$ 个 $P$ ， $134$ 个 $Q$ ， $133$ 个 $R$

$133$ $P$ s, $134$ $Q$ s, $133$ $R$ s

$134$ 个 $P$ ， $132$ 个 $Q$ ， $134$ 个 $R$

$134$ $P$ s, $132$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$134$ 个 $P$ ， $133$ 个 $Q$ ， $133$ 个 $R$

$134$ $P$ s, $133$ $Q$ s, $133$ $R$ s

答案：C

知识点：找规律模运算

难度评级：1540

小提示：

每行每列的规律每 $3$ 个格子重复一次

The pattern repeats every $3$ entries along each row and column

大提示：

因为 $20=3\cdot6+2$ ，每行中有两个字母会多出现一次

Since $20=3\cdot6+2$ , two letters get one extra appearance in each line

视频讲解：

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文字解答：

因为 $20 = 3 \cdot 6 + 2$ ，每列底部的 $2$ 个字母会比第三个字母多出现一次。

所以每列中第三个字母出现 $6$ 次，另外 $2$ 个字母各出现 $7$ 次。

在 $20$ 列中，有 $7$ 列的 $P$ 只出现 $6$ 次，其余 $13$ 列中则出现 $7$ 次。 $R$ 的情况相同。

因此 $P$ 和 $R$ 都各出现 $7\cdot6+13\cdot7=42+91=133$ 次。

因此 $Q$ 出现了 $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ 次。

所以正确答案是 C。

Since $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ the bottom $2$ letters in each column will occur one more time than the third letter.

This means that the third letter in each column will occur $6$ times, whereas the other $2$ will appear $7$ times.

Across the $20$ columns, $P$ is the letter that appears $6$ times in $7$ columns and appears $7$ times in the other $13$ columns. The same is true of $R.$

Thus $P$ and $R$ each appear $7\cdot6+13\cdot7=42+91=133$ times.

$Q$ will therefore appear $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ times.

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 8 第 16 题