1999 AMC 8 第 24 题

Question

1999^{2000}

除以

5

的余数是

When

1999^{2000}

is divided by

5,

the remainder is

4

3

2

1

0

答案：D

知识点：模运算个位数字

难度评级：1470

小提示：

先将

1999

对

5

取模

Reduce

1999

modulo

5

大提示：

对

5

取模时，

-1

的各个偶次幂余数都相同

Even powers of

-1

modulo

5

have the same remainder

解答：

要求除以

5

的余数，只需要关注个位数。

因此只需观察个位数

9

的幂的规律。

9

的幂的个位数在

9

和

1

之间交替：

9, 81, 729, \cdots\text{。}

因为指数是偶数，所以

1999^{2000}

的个位数为

1

。

除以

5

的余数就是

1

，因为它比

10

的倍数多

1

。

所以正确答案是 D。

Note that to find the remainder when divided by

5,

we only care about the units digit.

This means we only have to observe how the powers of the units digit work, namely the powers of

9.

Then, looking at powers of

9,

we see that the units digit alternates between

9

and

1:

9, 81, 729, \cdots.

This means that

1999^{2000}

ends in a

1

since the power is even.

The remainder when divided by

5

is then

1,

since it is

1

more than a multiple of

10.

Thus, D is the correct answer.

1999 AMC 8 第 24 题

答案：D

难度评级：1470

小提示：

大提示：

解答：

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