Question

在圆心为 $O$ 的圆中，弦 $\overline{AB}$ 等于弦 $\overline{AC}$ 。弦 $\overline{AD}$ 与 $\overline{BC}$ 交于 $E$ 。若 $AC=12$ 且 $AE=8$ ，则 $AD$ 等于：

In a circle with center $O,$ chord $\overline{AB}$ equals chord $\overline{AC}.$ Chord $\overline{AD}$ cuts $\overline{BC}$ in $E.$ If $AC=12$ and $AE=8,$ then $AD$ equals:

$27$

$24$

$21$

$20$

$18$

答案：E

知识点：弦圆周角相似

难度评级：1790

小提示：

比较三角形 $AEC$ 和 $ACD$

Compare triangles $AEC$ and $ACD$

大提示：

角 $ACE$ 和 $ADC$ 分别所对的弦 $AB$ 和 $AC$ 相等

Angles $ACE$ and $ADC$ subtend the equal chords $AB$ and $AC$

解答：

由于 $E$ 在 $BC$ 和 $AD$ 上，三角形 $AEC$ 与 $ACD$ 共有角 $A$ 。又因 $\angle ACE=\angle ACB$ 所对弦为 $AB$ ，而 $\angle ADC$ 所对弦为 $AC$ 。由于 $AB=AC$ ，两角相等。因此 $\triangle AEC\sim\triangle ACD\text{。}$ 对应边给出 $\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}\text{。}$ 所以 $\frac{8}{12}=\frac{12}{AD}$ ，从而 $AD=18$ 。

所以正确答案为 E。

Because $E$ lies on $BC$ and $AD,$ triangles $AEC$ and $ACD$ share angle $A.$ Also $\angle ACE=\angle ACB$ subtends chord $AB,$ while $\angle ADC$ subtends chord $AC.$ Since $AB=AC,$ these angles are equal. Thus $\triangle AEC\sim\triangle ACD.$ Corresponding sides give $\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}.$ Therefore $\frac{8}{12}=\frac{12}{AD},$ so $AD=18.$

Thus, the correct answer is E.

1958 AMC 12 第 42 题

答案：E

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 42 题