1956 AMC 12 第 42 题

Question

方程

\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1=0

有：

The equation

\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1=0

has:

无根

no root

一个实根

one real root

一个实根和一个虚根

one real root and one imaginary root

两个虚根

two imaginary roots

两个实根

two real roots

要使平方根为实数，定义域要求

x\ge3

For real square roots the domain requires

x\ge3

在该定义域内，直接比较

\sqrt{x+4}

与

\sqrt{x-3}

On that domain, compare

\sqrt{x+4}

directly with

\sqrt{x-3}

要有实数解，必须满足

x\ge3

。此时

x+4>x-3

，所以

\sqrt{x+4}>\sqrt{x-3}\text{。}

因此

\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1>1

，不可能等于零。原方程是实数范围内的根式方程，所以非实数根不在其定义域内。

正确答案是 A。

For a real solution,

x\ge3.

Then

x+4>x-3,

so

\sqrt{x+4}>\sqrt{x-3}.

Consequently

\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1>1,

and it cannot equal zero. The original equation is a real radical expression, so nonreal roots are outside its domain.

The correct answer is A.

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