1955 AMC 12 第 47 题

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47.

表达式

a+bc

与

(a+b)(a+c)

：

The expressions

a+bc

and

(a+b)(a+c)

are:

总是相等

always equal

从不相等

never equal

当

a+b+c=1

时相等

equal when

a+b+c=1

当

a+b+c=0

时相等

equal when

a+b+c=0

仅当

a=b=c=0

时相等

equal only when

a=b=c=0

答案：C

知识点：algebraic expansion sufficient condition equality

难度评级：1280

小提示：

展开

(a+b)(a+c)

Expand

(a+b)(a+c)

大提示：

减去

a+bc

，并将所得差因式分解

Subtract

a+bc

and factor the difference

解答：

两式之差为

\begin{aligned} &(a+b)(a+c)-(a+bc)\\ &\qquad=a^2+ab+ac-a\\ &\qquad=a(a+b+c-1) \end{aligned}\text{。}

特别地，每当

a+b+c=1

时，这个差为零，两式相等。

因此，正确答案是 C。

The difference is

\begin{aligned} &(a+b)(a+c)-(a+bc)\\ &\qquad=a^2+ab+ac-a\\ &\qquad=a(a+b+c-1). \end{aligned}

In particular, whenever

a+b+c=1,

this difference is zero and the expressions are equal.

Thus, the correct answer is C.

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