1955 AMC 12 第 44 题

Question

在圆

O

中，延长弦

\overline{AB}

，使

\overline{BC}

等于圆的半径。连接

\overline{CO}

并延长至

D

。连接

\overline{AO}

。下列哪一项表示角

x

与

y

的关系？

In circle

O

chord

\overline{AB}

is produced so that

\overline{BC}

equals a radius of the circle.

\overline{CO}

is drawn and extended to

D.

\overline{AO}

is drawn. Which of the following expresses the relationship between angles

x

and

y?

x=3y

x=2y

x=60^\circ

x

与

y

之间没有特殊关系

there is no special relationship between

x

and

y

x=2y

或

x=3y

，取决于

\overline{AB}

的长度

x=2y

or

x=3y,

depending upon the length of

\overline{AB}

答案：A

知识点：isosceles triangles exterior angle circle geometry

难度评级：1740

小提示：

由于

OB=BC

，三角形

OBC

是等腰三角形

Since

OB=BC,

triangle

OBC

is isosceles

大提示：

先使用

B

点处的外角，再使用

OA=OB

Use the exterior angle at

B

, then use

OA=OB

解答：

因为

OB=BC

，所以三角形

OBC

是等腰三角形，故

\angle BOC=\angle BCO=y

。因此它在

B

点处的外角为

\angle ABO=2y

。又因为

OA=OB

，三角形

AOB

也是等腰三角形，且

\angle OAB=2y

。在三角形

AOC

中，

A

点和

C

点处的角分别为

2y

和

y

，所以

\angle AOC=180^\circ-3y

。角

x=\angle AOD

与

\angle AOC

互为补角，因此

x=3y

。

因此，正确答案是 A。

Because

OB=BC,

triangle

OBC

is isosceles, so

\angle BOC=\angle BCO=y.

Its exterior angle at

B

is therefore

\angle ABO=2y.

Since

OA=OB,

triangle

AOB

is also isosceles and

\angle OAB=2y.

In triangle

AOC,

the angles at

A

and

C

are

2y

and

y,

so

\angle AOC=180^\circ-3y.

Angle

x=\angle AOD

is supplementary to

\angle AOC,

hence

x=3y.

Thus, the correct answer is A.

1955 AMC 12 第 44 题

答案：A

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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