1955 AMC 12 第 43 题

Question

方程

y=(x+1)^2

与

xy+y=1

的公共解中，

x

与

y

的取值对共有：

The pairs of values of

x

and

y

that are the common solutions of the equations

y=(x+1)^2

and

xy+y=1

are:

3

对实数解

3

real pairs

4

对实数解

4

real pairs

4

对虚数解

4

imaginary pairs

2

对实数解和

2

对虚数解

2

real and

2

imaginary pairs

1

对实数解和

2

对虚数解

1

real and

2

imaginary pairs

答案：E

知识点：simultaneous equations cube roots of unity complex solutions

难度评级：1720

小提示：

将第二个方程改写为

y(x+1)=1

Rewrite the second equation as

y(x+1)=1

大提示：

代入

y=(x+1)^2

，得到关于

x+1

的三次方程

Substitute

y=(x+1)^2

to obtain a cubic in

x+1

解答：

代入

y(x+1)=1

，得

(x+1)^3=1\text{。}

1

的三个立方根包括一个实根和两个非实根。每个根都恰好确定一个对应的

y=(x+1)^2

。因此有一对实数解和两对虚数解。

因此，正确答案是 E。

Substitution into

y(x+1)=1

gives

(x+1)^3=1.

The three cube roots of

1

consist of one real root and two nonreal roots. Each determines exactly one corresponding value

y=(x+1)^2.

Therefore there is one real pair and two imaginary pairs.

Thus, the correct answer is E.

1955 AMC 12 第 43 题

答案：E

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

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