Question

有多少个整数有序三元组 $(x, y, z)$ 满足下面的不等式组？

$-x - y - z \le -2$ $-x + y + z \le 2$ $x - y + z \le 2$ $x + y - z \le 2$

How many ordered triples of integers $(x, y, z)$ satisfy the following system of inequalities?

$-x - y - z \le -2$ $-x + y + z \le 2$ $x - y + z \le 2$ $x + y - z \le 2$

$4$

$8$

$11$

$15$

$17$

答案：C

知识点：换元法奇偶性系统列举

难度评级：1560

解答：

令 $p = -x + y + z$ ， $q = x - y + z$ ， $r = x + y - z$ 。后三个不等式给出 $p, q, r \le 2$ ，第一个不等式给出 $x + y + z \ge 2$ ，并且 $p + q + r = x + y + z$ 。又因为 $x = \tfrac{q + r}{2}$ 等，所以 $p, q, r$ 必须同奇偶。现在数每项 $\le 2$ 、同奇偶、总和在 $[2, 6]$ 中的三元组。偶数情形有 $(2,2,2)$ 、 $(2,2,0)$ 的排列、 $(2,0,0)$ 的排列，以及 $(2,2,-2)$ 的排列，共 $10$ 个。奇数情形只有 $(1,1,1)$ 。总共 $11$ 个，并且每个都对应唯一的 $(x, y, z)$ 。因此正确答案是 C。

Let $p = -x + y + z,$ $q = x - y + z,$ $r = x + y - z.$ The last three inequalities say $p, q, r \le 2,$ the first says $x + y + z \ge 2,$ and $p + q + r = x + y + z.$ Since $x = \tfrac{q + r}{2}$ and so on, $p, q, r$ must all share the same parity. Now count triples with each part $\le 2,$ equal parity, and sum in $[2, 6].$ The even ones are $(2,2,2),$ the permutations of $(2,2,0),$ of $(2,0,0),$ and of $(2,2,-2),$ giving $10.$ The only odd one is $(1,1,1).$ That's $11$ in all, and each yields a unique $(x, y, z).$ Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10B 第 9 题

答案：C

难度评级：1560

解答：

其他年份的第 9 题