Question

设 $S$ 是 $\left\{ 1, 2, 3, \cdots , 25 \right\}$ 的子集，并且 $S$ 中任意两个元素（可以相同）的和都不是 $S$ 的元素。 $S$ 最多可以含有多少个元素？

Suppose that $S$ is a subset of $\left\{ 1, 2, 3, \cdots , 25 \right\}$ such that the sum of any two (not necessarily distinct) elements of $S$ is never an element of $S.$ What is the maximum number of elements $S$ may contain?

$\ 12$

$\ 13$

$\ 14$

$\ 15$

$\ 16$

答案：B

知识点：子集极端原理配对与分组

难度评级：1600

解答：

集合 $S = \{13,14 \cdots ,25\}$ 有 $13$ 个元素，且任意两个元素之和都大于二十五，所以这个大小可以达到。

反过来，设 $m$ 是 $S$ 的最大元素。对 $S$ 中每个满足 $i<m$ 的 $i$ ，数 $m-i$ 不能也属于 $S$ 。

因此，在小于 $m$ 的数中，和为 $m$ 的每一对至多选一个；若 $m$ 为偶数，中间的数也不能选。于是小于 $m$ 的元素至多有 $\lfloor \dfrac {m-1}2 \rfloor$ 个，计入 $m$ 本身后总数至多为 $\lfloor \dfrac{m-1}2 \rfloor +1$ 。

这个上界在 $m=25$ 时最大，等于 $13$ 。

所以正确答案是 B。

The set $S = \{13,14 \cdots ,25\}$ has $13$ elements, and every pair has sum greater than 25, so this size is attainable.

Conversely, let $m$ be the maximum element of $S.$ For every element of $S$ satisfying $i<m,$ the number $i$ and the number $m-i$ cannot both belong to $S.$

Thus, among the numbers below $m,$ at most one number can be chosen from each pair with sum $m$ ; if $m$ is even, the middle number cannot be chosen either. Hence at most $\lfloor \dfrac {m-1}2 \rfloor$ elements lie below $m,$ and including $m$ gives at most $\lfloor \dfrac{m-1}2 \rfloor +1$ elements.

The maximum value of this has $m=25,$ yielding $13.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B 第 14 题

答案：B

难度评级：1600

解答：

其他年份的第 14 题