Question

$xy$ 平面中的点 $P(a,b)$ 先绕点 $(1,5)$ 逆时针旋转 $90^\circ$ ，再关于直线 $y = -x$ 反射。经过这两个变换后， $P$ 的像为 $(-6,3)$ 。 $b - a$ 等于多少？

The point $P(a,b)$ in the $xy$ -plane is first rotated counterclockwise by $90^\circ$ around the point $(1,5)$ and then reflected about the line $y = -x.$ The image of $P$ after these two transformations is at $(-6,3).$ What is $b - a ?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：D

知识点：变换坐标几何逆推法

难度评级：1220

视频讲解：

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文字解答：

倒推变换。点 $(-6,3)$ 关于 $y=-x$ 反射后得到 $(-3,6)$ 。

接着把 $(-3,6)$ 绕 $(1,5)$ 顺时针旋转 $90^\circ$ ，以撤销原来的逆时针旋转。相对于 $(1,5)$ ，该点为 $(-4,1)$ 。顺时针旋转四分之一圈得到 $(1,4)$ ，再平移回去得到 $(2,9)$ 。

因此 $a=2$ 、 $b=9$ ，所以 $b-a=7$ 。

所以答案是 D。

Work backward. Reflecting $(-6,3)$ across $y=-x$ gives $(-3,6).$

Now undo the $90^\circ$ counterclockwise rotation by rotating $(-3,6)$ clockwise about $(1,5).$ Relative to $(1,5),$ the point is $(-4,1).$ A clockwise quarter-turn sends this to $(1,4),$ and translating back gives $(2,9).$

Thus $a=2,$ $b=9,$ and $b-a=7.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring 第 9 题

答案：D

难度评级：1220

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