Question

在平面中，半径分别为 $1,3,5$ 、 $7$ 的四个圆都与直线 $\ell$ 在同一点 $A$ 相切，但它们可以位于 $\ell$ 的任一侧。区域 $S$ 由恰好位于这四个圆中一个圆内部的所有点组成。区域 $S$ 的最大可能面积是多少？

In a plane, four circles with radii $1,3,5,$ and $7$ are tangent to line $\ell$ at the same point $A,$ but they may be on either side of $\ell.$ Region $S$ consists of all the points that lie inside exactly one of the four circles. What is the maximum possible area of region $S?$

$24\pi$

$32\pi$

$64\pi$

$65\pi$

$84\pi$

答案：D

知识点：相切圆圆面积最优化

难度评级：1240

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文字解答：

在 $\ell$ 的同一侧，所有在 $A$ 处相切的圆互相包含。若套在一起的圆半径为 $r_1>r_2>\cdots$ ，则恰好在一个圆内的面积为 $\pi(r_1^2-r_2^2)$ ；更小圆内的点同时位于至少三个圆内，不符合“恰好一个”的条件。

要使面积最大，把半径 $7$ 的圆单独放在一侧，把半径 $5,3,1$ 的圆放在另一侧。这给出

$\begin{aligned} &7^2\pi+(5^2-3^2)\pi \\ &=49\pi+16\pi=65\pi. \end{aligned}$

所以答案是 D。

On one side of $\ell,$ circles tangent at $A$ are nested. For nested circles with radii $r_1>r_2>\cdots,$ the points inside exactly one of those circles have area $\pi(r_1^2-r_2^2)$ if there are at least two circles; a third smaller nested circle does not count because its points are inside three circles, not exactly one.

To maximize the area, put the circle of radius $7$ alone on one side, and put the circles of radii $5,3,1$ on the other side. This gives

$\begin{aligned} &7^2\pi+(5^2-3^2)\pi \\ &=49\pi+16\pi=65\pi. \end{aligned}$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring 第 7 题

答案：D

难度评级：1240

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其他年份的第 7 题