Question

一张正方形纸片边长为 $1$ ，顶点按顺序为 $A,B,C$ 和 $D$ 。如图所示，将纸片折叠，使顶点 $C$ 落在边 $\overline{AD}$ 上的点 $C'$ ，且边 $\overline{BC}$ 与边 $\overline{AB}$ 相交于点 $E$ 。若 $C'D = \frac{1}{3}$ ，三角形 $\triangle AEC'$ 的周长是多少？

A square piece of paper has side length $1$ and vertices $A,B,C,$ and $D$ in that order. As shown in the figure, the paper is folded so that vertex $C$ meets edge $\overline{AD}$ at point $C',$ and edge $\overline{BC}$ intersects edge $\overline{AB}$ at point $E.$ Suppose that $C'D = \frac{1}{3}.$ What is the perimeter of $\triangle AEC'?$

$2$

$1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$

$\dfrac{13}{6}$

$1 + \dfrac{3}{4}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{3}$

答案：A

知识点：折纸坐标几何

难度评级：2230

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文字解答：

取坐标 $A=(0,1)$ 、 $B=(0,0)$ 、 $C=(1,0)$ 、 $D=(1,1)$ 。因为 $C'D=\frac13$ ，所以 $C'=(\frac23,1)$ ，从而 $AC'=\frac23$ 。

折叠把 $C$ 反射到 $C'$ ，所以边 $BC$ 的像是过 $C'$ 和 $E$ 的直线。把 $B=(0,0)$ 关于 $CC'$ 的垂直平分线反射，得到 $(-\frac{2}{15},\frac25)$ 。过该点与 $C'$ 的直线与 $AB$ 相交于 $E=(0,\frac12)$ 。

因此 $AE=\frac12$ ，并且

$EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.$

$\triangle AEC'$ 的周长为

$\frac12+\frac23+\frac56=2.$

所以答案是 A。

Use coordinates with $A=(0,1),$ $B=(0,0),$ $C=(1,0),$ and $D=(1,1).$ Since $C'D=\frac13,$ we have $C'=(\frac23,1),$ so $AC'=\frac23.$

The fold reflects $C$ to $C',$ so the image of side $BC$ is the line through $C'$ and $E.$ Reflecting $B=(0,0)$ across the perpendicular bisector of $CC'$ gives $(-\frac{2}{15},\frac25).$ The line through this point and $C'$ meets $AB$ at $E=(0,\frac12).$

Thus $AE=\frac12,$ and

$EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.$

The perimeter of $\triangle AEC'$ is

$\frac12+\frac23+\frac56=2.$

Thus, the answer is A .

2021 AMC 10B Spring 第 21 题

答案：A

难度评级：2230

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