Question

实数 $x$ 和 $y$ 满足 $x + y = 4$ 且 $x \cdot y = -2$ 。求下列表达式的值： $x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y?$

Real numbers $x$ and $y$ satisfy $x + y = 4$ and $x \cdot y = -2.$ What is the value of $x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y?$

$360$

$400$

$420$

$440$

$480$

答案：D

知识点：牛顿恒等式韦达定理

难度评级：1480

视频讲解：

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文字解答：

设 $S_k=x^k+y^k$ 。因为 $x+y=4$ 且 $xy=-2$ ，数 $x$ 和 $y$ 是方程 $t^2-4t-2=0$ 的两根，所以 $S_k=4S_{k-1}+2S_{k-2}$ 。

由 $S_0=2$ 与 $S_1=4$ 出发，得到 $S_2=20$ 、 $S_3=88$ 、 $S_4=392$ ，以及 $S_5=1744$ 。原式为 $x+y+\dfrac{x^5+y^5}{x^2y^2}$ $=4+\dfrac{1744}{4}=440$ 。正确答案是 D。

Let $S_k=x^k+y^k$ . Since $x+y=4$ and $xy=-2$ , the numbers $x$ and $y$ satisfy $t^2-4t-2=0$ , so $S_k=4S_{k-1}+2S_{k-2}$ .

Using $S_0=2$ and $S_1=4$ , we get $S_2=20$ , $S_3=88$ , $S_4=392$ , and $S_5=1744$ . The expression is $x+y+\dfrac{x^5+y^5}{x^2y^2}$ $=4+\dfrac{1744}{4}=440$ . Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 14 题

答案：D

难度评级：1480

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