Question

一个边长为 $x$ 的正方形内接于一个边长为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的直角三角形，使正方形的一个顶点与三角形的直角顶点重合。另一个边长为 $y$ 的正方形内接于另一个边长为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的直角三角形，使正方形的一条边落在三角形的斜边上。求 $\dfrac{x}{y}$ 的值。

A square with side length $x$ is inscribed in a right triangle with sides of length $3,$ $4,$ and $5$ so that one vertex of the square coincides with the right-angle vertex of the triangle. A square with side length $y$ is inscribed in another right triangle with sides of length $3,$ $4,$ and $5$ so that one side of the square lies on the hypotenuse of the triangle. What is $\dfrac{x}{y}?$

$\dfrac{12}{13}$

$\dfrac{35}{37}$

$1$

$\dfrac{37}{35}$

$\dfrac{13}{12}$

答案：D

知识点：相似直角三角形正方形（几何）

难度评级：2060

解答：

第一种放置中， $\triangle FBE$ 与原来的 $\triangle ABC$ 相似，因此 $\dfrac{BF}{FE} = \dfrac{AB}{AC}$ $\dfrac{4 - x}{x} = \dfrac{4}{3}.$

交叉相乘可得 $12 - 3x = 4x$ $x = \dfrac{12}{7}.$

这里， $\triangle ABC$ 、 $\triangle RBQ$ 和 $\triangle STC$ 都相似（角角相似）。

因此 $RB = \dfrac{4}{3}y$ ，且 $CS = \dfrac{3}{4}y$ 。这给出方程 $\dfrac{4}{3}y + \dfrac{3}{4}y + y = 5$ $\dfrac{37}{12}y = 5.$

$y = \dfrac{60}{37}$ 。 $\dfrac{\frac{12}{7}}{\frac{60}{37}} = \dfrac{37}{35}.$

所以正确答案是 D。

We can see that $\triangle ABC$ and $\triangle FBE$ are similar (angle-angle). This gives us $\dfrac{BF}{FE} = \dfrac{AB}{AC}$ $\dfrac{4 - x}{x} = \dfrac{4}{3}.$

Cross-multiplying yields $12 - 3x = 4x$ $x = \dfrac{12}{7}.$

Here, we have that $\triangle ABC,$ $\triangle RBQ,$ and $\triangle STC$ are similar (angle-angle).

This means that $RB = \dfrac{4}{3}y$ and $CS = \dfrac{3}{4}y.$ This gives us the equation $\dfrac{4}{3}y + \dfrac{3}{4}y + y = 5$ $\dfrac{37}{12}y = 5.$

Finally, we get that $y = \dfrac{60}{37}.$ The desired ratio is $\dfrac{\frac{12}{7}}{\frac{60}{37}} = \dfrac{37}{35}.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A 第 21 题

答案：D

难度评级：2060

解答：

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