Question

圆心为 $P, Q$ 和 $R$ 、半径分别为 $1, 2$ 和 $3$ 的三个圆位于直线 $l$ 的同侧，并分别在 $P', Q'$ 和 $R'$ 处与 $l$ 相切，其中 $Q'$ 在 $P'$ 和 $R'$ 之间。圆心为 $Q$ 的圆与另外两个圆都外切。求 $\triangle PQR$ 的面积。

Circles with centers $P, Q$ and $R,$ having radii $1, 2$ and $3,$ respectively, lie on the same side of line $l$ and are tangent to $l$ at $P', Q'$ and $R',$ respectively, with $Q'$ between $P'$ and $R'.$ The circle with center $Q$ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of $\triangle PQR?$

$0$

$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$1$

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

答案：D

知识点：相切圆勾股定理坐标几何

难度评级：1970

解答：

由勾股定理，得到以及这是因为 $x$ ， $P=(0,1)$ 。这些三角形的高也都是 $1$ 。 $PQ=1+2=3$ $P$ $Q$ $QR=2+3=5$ $1$ ， $2\sqrt6$ 。 $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$

因此 $\begin{aligned} P&=(0,1),\qquad Q=(2\sqrt2,2), \\ R&=(2\sqrt2+2\sqrt6,3). \end{aligned}$ $\begin{aligned} [PQR] &=\frac12\left|4\sqrt2-(2\sqrt2+2\sqrt6)\right| \\ &=\sqrt6-\sqrt2. \end{aligned}$

现在可以把表示为所以正确答案是 D。

Put the tangent line on the $x$ -axis and take $P=(0,1).$ Because $PQ=1+2=3$ and the centers differ in height by $1,$ the horizontal distance from $P$ to $Q$ is $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$ Similarly, $QR=2+3=5$ and its centers also differ in height by $1,$ so their horizontal distance is $2\sqrt6.$

Thus we may use $\begin{aligned} P&=(0,1),\qquad Q=(2\sqrt2,2), \\ R&=(2\sqrt2+2\sqrt6,3). \end{aligned}$ The coordinate-area formula gives $\begin{aligned} [PQR] &=\frac12\left|4\sqrt2-(2\sqrt2+2\sqrt6)\right| \\ &=\sqrt6-\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10A 第 21 题

答案：D

难度评级：1970

解答：

其他年份的第 21 题