2015 AMC 10B 第 14 题

Question

设

a

、

b

、

c

是三个不同的一位数。下面方程的根之和的最大值是多少？

\begin{aligned} &(x-a)(x-b) \\ &\quad +(x-b)(x-c)=0 \end{aligned}\text{？}

Let

a,

b,

and

c

be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation

\begin{aligned} &(x-a)(x-b) \\ &\quad +(x-b)(x-c)=0? \end{aligned}

15

15.5

16

16.5

17

答案：D

知识点：二次方程因式分解最优化

难度评级：1280

小提示：

提取公因子

x-b

。

Factor out

x-b

大提示：

用不同的一位数最大化

b+\frac{a+c}{2}

。

Maximize

b+\frac{a+c}{2}

using distinct one-digit numbers

解答：

将左边因式分解，得到

(x-b)(2x-a-c)=0\text{。}

因此两根是

b

和

\frac{a+c}{2}

，根之和为

b+\frac{a+c}{2}\text{。}

在这个和中，

b

的系数是

a

或

c

的系数的两倍，所以把最大的数字赋给

b

。接下来两个最大的不同数字应赋给

a

和

c

。

取

b=9

、

\{a,c\}=\{7,8\}

，得到

9+\frac{7+8}{2}=16.5\text{。}

所以正确答案是 D。

Factoring the left-hand side gives

(x-b)(2x-a-c)=0.

Thus the roots are

b

and

\frac{a+c}{2},

whose sum is

b+\frac{a+c}{2}.

The coefficient of

b

in this sum is twice the coefficient of either

a

or

c,

so assign the largest digit to

b.

The next two largest distinct digits should be

a

and

c.

Taking

b=9

and

\{a,c\}=\{7,8\}

gives

9+\frac{7+8}{2}=16.5.

Thus, the correct answer is D .

2015 AMC 10B 第 14 题

答案：D

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

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