Question

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是三个不同的一位数。方程的根之和的最大值是多少？ $\begin{aligned} &(x-a)(x-b) \\ &\quad +(x-b)(x-c)=0? \end{aligned}$

Let $a,$ $b,$ and $c$ be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation $\begin{aligned} &(x-a)(x-b) \\ &\quad +(x-b)(x-c)=0? \end{aligned}$

$15$

$15.5$

$16$

$16.5$

$17$

答案：D

知识点：二次方程因式分解最优化

难度评级：1280

解答：

将左边因式分解，得到 $(x-b)(2x-a-c)=0.$ 因此两根是 $b$ 和 $\frac{a+c}{2},$ 根之和为 $b+\frac{a+c}{2}.$

在这个和中， $b$ 的系数是 $a$ 或 $c,$ 的系数的两倍，所以把最大的数字赋给 $b.$ 接下来两个最大的不同数字应赋给 $a$ 和 $c.$

取 $b=9$ 、 $\{a,c\}=\{7,8\}$ ，得到 $9+\frac{7+8}{2}=16.5.$

所以正确答案是 D。

Factoring the left-hand side gives $(x-b)(2x-a-c)=0.$ Thus the roots are $b$ and $\frac{a+c}{2},$ whose sum is $b+\frac{a+c}{2}.$

The coefficient of $b$ in this sum is twice the coefficient of either $a$ or $c,$ so assign the largest digit to $b.$ The next two largest distinct digits should be $a$ and $c.$

Taking $b=9$ and $\{a,c\}=\{7,8\}$ gives $9+\frac{7+8}{2}=16.5.$

Thus, the correct answer is D .

2015 AMC 10B 第 14 题

答案：D

难度评级：1280

解答：

其他年份的第 14 题