Question

设点点 $E$ $F$ $G$ 和 $H$ 分别是线段 $\overline{BD},\text{ } \overline{AB}, \text{ } \overline {AC}$ 和 $\overline{DC}$ 的中点。求四边形 $EFGH$ 的面积。 $A=(0,0,0)$ ， $B=(1,0,0)$ ， $C=(0,2,0)$ ， $D=(0,0,3)$ 。

Let points $A=(0,0,0),$ $B=(1,0,0),$ $C=(0,2,0),$ and $D=(0,0,3).$ Points $E,$ $F,$ $G,$ and $H$ are midpoints of line segments $\overline{BD},\text{ } \overline{AB}, \text{ } \overline {AC},$ and $\overline{DC}$ respectively. What is the area of $EFGH?$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$

$\dfrac{3\sqrt{5}}{4}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{2\sqrt{7}}{3}$

答案：C

知识点：立体几何中点距离公式

难度评级：1730

解答：

注意 $EF = \dfrac{1}{2}AD$ ，因为它是 $\triangle ABD$ 的中位线。同理， $HG = \dfrac{1}{2}AD$ ，且 $FG = \dfrac{1}{2}BC$ 。

又因为 $\overline{EF}$ 和 $\overline{HG}$ 垂直于 $xy$ 平面，所以它们垂直于 $\overline{FG}$ 和 $\overline{EH}$ 。

因此 $EFGH$ 是长方形，且 $EF = HG$ 。有 $EF = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}$ 。

还可得 $FG = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$

所以 $EFGH$ 的面积为 $EF \cdot FG = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}.$

所以正确答案是 C。

Note that $EF = \dfrac{1}{2}AD$ since it is a midsegment of $\triangle ABD.$ Similarly, $HG = \dfrac{1}{2}AD$ and $FG = \dfrac{1}{2}BC.$

We also have that $\overline{EF}$ and $\overline{HG}$ are perpendicular to the $xy$ -plane, which means that they are perpendicular to $\overline{FG}$ and $\overline{EH}.$

This tells us that $EFGH$ is rectangle since $EF = HG.$ We have $EF = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}.$

We also have that $FG = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$

The area of $EFGH$ is then $EF \cdot FG = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}.$

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A 第 21 题

答案：C

难度评级：1730

解答：

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