2012 AMC 10A 第 21 题

Question

设点

A=(0,0,0)

、

B=(1,0,0)

、

C=(0,2,0)

和

D=(0,0,3)

。点

E

、

F

、

G

和

H

分别是线段

\overline{BD}

，

\text{ } \overline{AB}

，

\text{ } \overline {AC}

和

\overline{DC}

的中点。求四边形

EFGH

的面积。

Let points

A=(0,0,0),

B=(1,0,0),

C=(0,2,0),

and

D=(0,0,3).

Points

E,

F,

G,

and

H

are midpoints of line segments

\overline{BD},

\text{ } \overline{AB},

\text{ } \overline {AC},

and

\overline{DC}

respectively. What is the area of

EFGH?

\sqrt{2}

\dfrac{2\sqrt{5}}{3}

\dfrac{3\sqrt{5}}{4}

\sqrt{3}

\dfrac{2\sqrt{7}}{3}

答案：C

知识点：立体几何中点距离公式

难度评级：1730

小提示：

在三角形

ABD

和

ABC

中使用中位线。

Use midsegments in triangles

ABD

and

ABC

大提示：

这个四边形是长方形，边长可由

AD

和

BC

求出。

The quadrilateral is a rectangle with side lengths from

AD

and

BC

解答：

注意

EF = \dfrac{1}{2}AD

，因为它是

\triangle ABD

的中位线。同理，

HG = \dfrac{1}{2}AD

，且

FG = \dfrac{1}{2}BC

。

又因为

\overline{EF}

和

\overline{HG}

垂直于

xy

平面，所以它们垂直于

\overline{FG}

和

\overline{EH}

。

因此

EFGH

是长方形，且

EF = HG

。有

EF = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}

。

还可得

FG = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\text{。}

所以

EFGH

的面积为

EF \cdot FG = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}\text{。}

所以正确答案是 C。

Note that

EF = \dfrac{1}{2}AD

since it is a midsegment of

\triangle ABD.

Similarly,

HG = \dfrac{1}{2}AD

and

FG = \dfrac{1}{2}BC.

We also have that

\overline{EF}

and

\overline{HG}

are perpendicular to the

xy

-plane, which means that they are perpendicular to

\overline{FG}

and

\overline{EH}.

This tells us that

EFGH

is rectangle since

EF = HG.

We have

EF = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}.

We also have that

FG = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.

The area of

EFGH

is then

EF \cdot FG = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}.

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A 第 21 题

答案：C

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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