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1959 AMC 12 Problema 49

Intenta el Problema 49 del 1959 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1959 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

49.

Para la serie infinita 1−12−14+18−116−132+164−1128−⋯ , \begin{aligned} &1-\dfrac12-\dfrac14+\dfrac18\\ &{}-\dfrac1{16}-\dfrac1{32}+\dfrac1{64}\\ &{}-\dfrac1{128}-\cdots, \end{aligned} sea SS la suma límite. Entonces SS es igual a:
For the infinite series 1−12−14+18−116−132+164−1128−⋯ , \begin{aligned} &1-\dfrac12-\dfrac14+\dfrac18\\ &{}-\dfrac1{16}-\dfrac1{32}+\dfrac1{64}\\ &{}-\dfrac1{128}-\cdots, \end{aligned} let SS be the (limiting) sum. Then SS equals:
00
27\dfrac27
67\dfrac67
932\dfrac9{32}
2732\dfrac{27}{32}
Respuesta: B
Conceptos:sucesión geométricaemparejamiento y agrupaciónsumatoria
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Agrupa los términos en bloques consecutivos de tres
Group the terms in consecutive blocks of three
Pista grande:
Cada bloque es 18\frac{1}{8} del bloque anterior
Each block is 18\frac{1}{8} times the preceding block
Solución:
Agrupa la serie como S=(1−12−14)+(18−116−132)+⋯ . \begin{aligned} S={}&\left(1-\frac12-\frac14\right)\\ &+\left(\frac18-\frac1{16}-\frac1{32}\right) +\cdots. \end{aligned} El primer bloque es 14,\frac{1}{4}, y los bloques sucesivos forman una serie geométrica de razón 18.\frac{1}{8}. Por lo tanto, S=141−18=27. S=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}}=\frac27.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Group the series as S=(1−12−14)+(18−116−132)+⋯ . \begin{aligned} S={}&\left(1-\frac12-\frac14\right)\\ &+\left(\frac18-\frac1{16}-\frac1{32}\right) +\cdots. \end{aligned} The first block is 14,\frac{1}{4}, and successive blocks form a geometric series with ratio 18.\frac{1}{8}. Hence S=141−18=27. S=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}}=\frac27.
Therefore, the correct answer is B.
Problema 48#48
Examen completo
Problema 50#50

El Problema 49 en otros años

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