1956 AMC 12 Problema 42

Intenta el Problema 42 del 1956 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1956 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

42.

La ecuación x+4−x−3+1=0\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1=0 tiene:
The equation x+4−x−3+1=0\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1=0 has:
ninguna raíz
no root
una raíz real
one real root
una raíz real y una raíz imaginaria
one real root and one imaginary root
dos raíces imaginarias
two imaginary roots
dos raíces reales
two real roots
Respuesta: A
Conceptos:radical equationinequalitiesreal domain
Pista pequeña:
Para que las raíces cuadradas sean reales, el dominio exige x≥3x\ge3
For real square roots the domain requires x≥3x\ge3
Pista grande:
En ese dominio, compara directamente x+4\sqrt{x+4} con x−3\sqrt{x-3}
On that domain, compare x+4\sqrt{x+4} directly with x−3\sqrt{x-3}
Solución:
Para que haya una solución real, x≥3.x\ge3. Entonces x+4>x−3,x+4>x-3, por lo que x+4>x−3. \sqrt{x+4}>\sqrt{x-3}. En consecuencia, x+4−x−3+1>1,\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1>1, y no puede ser igual a cero. La ecuación original es una expresión radical real, por lo que las raíces no reales están fuera de su dominio.
La respuesta correcta es A.
For a real solution, x≥3.x\ge3. Then x+4>x−3,x+4>x-3, so x+4>x−3. \sqrt{x+4}>\sqrt{x-3}. Consequently x+4−x−3+1>1,\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1>1, and it cannot equal zero. The original equation is a real radical expression, so nonreal roots are outside its domain.
The correct answer is A.
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