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1955 AMC 12 Problema 45

Intenta el Problema 45 del 1955 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1955 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

45.

Se dan una sucesión geométrica cuyo primer término es ≠0\ne0 y con r≠0r\ne0, y una sucesión aritmética cuyo primer término es =0.=0. Se forma una tercera sucesión 1,1, 1,1, 2,2, …\ldots sumando los términos correspondientes de las dos sucesiones dadas. La suma de los primeros diez términos de la tercera sucesión es:
Given a geometric sequence with the first term ≠0\ne0 and r≠0r\ne0 and an arithmetic sequence with the first term =0.=0. A third sequence 1,1, 1,1, 2,2, …\ldots is formed by adding corresponding terms of the two given sequences. The sum of the first ten terms of the third sequence is:
978978
557557
467467
10681068
no puede determinarse con la información dada
not possible to determine from the information given
Respuesta: A
Conceptos:sucesión geométricasucesión aritméticasystems of equations
Nivel de dificultad: 1930
Pista pequeña:
Escribe las dos sucesiones como a,ar,ar2,…a,ar,ar^2,\ldots y 0,d,2d,…0,d,2d,\ldots
Write the two sequences as a,ar,ar2,…a,ar,ar^2,\ldots and 0,d,2d,…0,d,2d,\ldots
Pista grande:
Usa las tres primeras sumas y la condición r≠0r\ne0 para determinar a,r,da,r,d
Use the first three sums and the condition r≠0r\ne0 to determine a,r,da,r,d
Solución:
Las tres primeras sumas término a término dan a=1,r+d=1,r2+2d=2. \begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned} Al sustituir d=1−rd=1-r se obtiene r(r−2)=0.r(r-2)=0. Como r≠0,r\ne0, tenemos r=2r=2 y d=−1.d=-1. Los primeros diez términos geométricos suman 210−1=1023,2^{10}-1=1023, mientras que los primeros diez términos aritméticos suman 0−1−⋯−9=−45.0-1-\cdots-9=-45. Su suma combinada es 1023−45=978.1023-45=978.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The first three termwise sums give a=1,r+d=1,r2+2d=2. \begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned} Substituting d=1−rd=1-r yields r(r−2)=0.r(r-2)=0. Since r≠0,r\ne0, we have r=2r=2 and d=−1.d=-1. The first ten geometric terms sum to 210−1=1023,2^{10}-1=1023, while the first ten arithmetic terms sum to 0−1−⋯−9=−45.0-1-\cdots-9=-45. Their combined sum is 1023−45=978.1023-45=978.
Thus, the correct answer is A.
Problema 44#44
Examen completo
Problema 46#46

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